Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triāngulo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 24.04.04 21:36, rafsanco at rafsanco@bol.com.br wrote:

> Olį para todos !
> 
> Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana
> que dizia o seguinte: ao maior lado de um triāngulo
> corresponde a menor bissetriz.

Usando a relacao de Stewart e o teorema das bissetrizes internas, podemos
calcular o comprimento das bissetrizes (um exercicio nao muito dificil, mas
razoavelmente bracal).

Sejam a, b, c os comprimentos dos lados, x(a), x(b) e x(c) os comprimentos
das bissetrizes correspondentes e p o semi-perimetro. Entao:
x(a) = 2*raiz(bcp(p-a))/(b+c)
x(b) = 2*raiz(acp(p-b))/(a+c)
x(c) = 2*raiz(abp(p-c))/(a+b)

Suponhamos s.p.d.g. que a >= b >= c. Entao:
1/(b+c) <= 1/(a+c) <= 1/(a+b);
p-a <= p-b <= p-c;
bc <= ac <= ab.

Logo, x(a) <= x(b) <= x(c).

[]s,
Claudio.





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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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