[obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triângulo

["rafsanco" <rafsanco@xxxxxxxxxx>]

Olá para todos !

Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana 
que dizia o seguinte: ao maior lado de um triângulo 
corresponde a menor bissetriz. Tentei prová-lo da 
seguinte forma (infelizmente não disponho de recursos 
visuais, então usem a imaginação ou esboçem o desenho 
num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja 
ABC um triângulo qualquer, BC seu maior lado, I seu 
incentro, x a medida do angulo interno de vértice A, y 
a medida do ângulo interno de vértice B, z a medida do 
ângulo interno de vértice C, AM a bissetriz de x, BO a 
bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x > y 
e x > z uma vez que x é oposto a BC (suposto maior 
lado). Analisando o triângulo AIC, vê-se que x/2 > z/2, 
logo CI > AI. Observando o triângulo AIB é verdadeiro 
afirmar que x/2 > y/2, portanto BI > AI. Ora IM, IN e 
IO são segmentos de reta congruentes, visto que são 
raios da circunferência inscrita a ABC, então BI + IO > 
AI + IM o que implica que BO > AM (BI + IO = BO e AI + 
IM = AM), assim como CI + IN > AI + IM o que implica 
que CN > AM (CI + IN = CN e AI + IM = AM). Enfim, está 
demonstrada a tese AM < BO e AM < CN. A minha 
demonstração é válida ou há algo nela que a compromete  
(sei lá, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Vocês 
conhecem alguma outra maneira de se provar esse 
teorema ? Se sim, exponha-a por favor.

Abraços,

Rafael.
 
__________________________________________________________________________
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================