Re: [obm-l] espaço métrico normado

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Hah uns 15 dias o colega Gabriel Haeser enviou 2
problemas para a lista. parece-me que o segundo ainda
naum foi respondido. Vou tentar.

> 2) Mostre que em um espaço métrico normado, se
> convergência absoluta implicar
> convergência então o espaço é completo (de Banach)


Estou suponndo que o espaco metrico em questao eh um
espaco vetorial normado. Sejam X um espaco conforme
citado, com norma ||,  e {x_m} uma sequencia de Cauchy
de X. Para todo eps>0, existe entao um natural k
(dependente de eps) tal que ||x_m - x_n|| < eps para
todos naturais m,n>=k. Pela desigualdade triangular,
se m,n>=k, entao | ||x_m|| - ||x_n|| | <= ||x_m -
x_n|| < eps, do que deduzimos que ||x_m|| eh uma
sequencia de Cauchy de R. Como R eh completo,
{||x_m||} eh convergente e, como em X convergencia
absoluta implica convergencia, segue-se que {x_m}
tambem eh. Logo, toda sequencia de Cauchy de X
converge com relacao aa metrica induzida por ||, do
que deduzimos que X eh Banach.

Interessante observar que a reciproca naum eh
verdadeira. R eh um espaco de Banach, mas o fato de
{|x_n|} convergir em R naum signfica que {x_n} tambem
convirja.

Um detalhe: Por convergencia absoluta, interpretei
convergencia absoluta de sequencias gerais, e naum de
series. Se o enunciadao se referir a series, aih a
prova, se a afirmacao continuar verdadeira (nao
pensei) torna-se mais complicada. 

Artur




	
		
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