Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...

[Alan Pellejero <mathhawk2003@xxxxxxxxxxxx>]

pessoal, eu provei que para isso ser verdade, sendo a e b <> 0,  a = b, conforme eu disse no e-mail anterior...

Minha prova é a seguinte, por favor, analisem se esta é verdadeira....

 

Um inteiro é da forma p/q, q<>0, p e q inteiros e p sendo múltiplo de q (mdc entre a e b é 1).

(a^2 + b^2) / (ab + 1) = p/q

 

então a^2 = p - b^2 

         a = (q - 1) / b => a^2 = (q - 1)^2/b^2

 Portanto, p - b^2 = (q - 1)^2/b^2 => p = [(q - 1)^2/b^2] + b^2

 

da mesma maneira,

 

p = [(q - 1)^2/a^2] + a^2

 

então, tem-se que a^2 = b^2

sendo a e b naturais, a = b

 

Então teríamos o seguinte:

 

Prove que, sendo inteiro, 

2a^2/(a^2 + 1) 

é um quadrado perfeito...

Foi ai que eu travei...

Eu tentei frações parciais e nada, tentei provar que isso era a soma dos n primeiro números ímpares, de acordo com a teoria pitagórica de números e tal...mas nada!

Então, digam se eu errei nessa demonstração, pois é ela que me está dando suporte para provar...

Pessoal, avaliem o que eu fiz, por favor, inclusive dizendo onde e por qual motivo eu errei ou acertei...

Muito obrigado!!!

Um abração

Alan Pellejero

 

 

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

> on 20.04.04 11:36, Alan Pellejero at mathhawk2003@yahoo.com.br wrote:
>
> > Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0, para que (a^2 + b^2)  / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a = b.
> > Bom, gostaria de saber se isso é válido...
> > Dai, o que estava tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito, desde que fosse um inteiro.
> > Gostaria que desse um contra-exemplo ou pusessem a posição a respeito.
> > Se vcs quiserem, eu mostro como eu cheguei a esta conclusão...
> > Um abração
> > Alan Pellejero
> >
> >
> > Oi, Alan:
> >
> > Repare que 2a^2/(a^2 + 1) = 2 - 2/(a^2 + 1) e isso soh eh inteiro quando a^2 +1 divide 2, ou seja, quando a^2 + 1 = 1 ou 2 <==> a = 0 ou 1.
> >
> > Se excluirmos o caso a = 0, entao soh sobra a = 1 ==>
> > 2a^2/(a^2 + 1) = 1 = 1^2.
> >
> > Assim, o que podemos afirmar eh que se a = b > 0, entao:
> > (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro
> >  <==> 
> > (a^2 + b^2)/(1 + ab) = 1 <==> 
> > (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh quadrado perfeito.
> >
> > No entanto, existem outros casos onde (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro (e quadrado perfeito) com a > b. Por exemplo, tome a = n^3 e b = n, com n um natural qualquer.
> >
> > []s,
> > Claudio.

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