Re: [obm-l] Olimpiada da India

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> b = mnp;
> -a = mn + p;
> -2a = m + np.

muito boa sacada... devia ter pensado nisso!
vc já conhecia alguma técnica ou saiu da sua cabeça?


> Ou seja, para n > 2, tomamos os pares:
> (a,b) = (a_n,b_n) = ( 1 - n^2 , n(n-2)(2n-1) )

também sai assim:

se n ~ 1 (mod 6) [n = 6m + 1]
d|n, d|n-2 => d|[n - (n-2)] => d|2 => d = 1
d|n, d|2n-1 => d|2n => d|1
d|n-2, d|2n-1 => n ~ 2 (mod d) e 2n ~ 1 (mod d), mas
2n ~ 4 (mod d) => 3 ~ 0 (mod d) => d|3
mas como n - 2 = 6m - 1, d = 1

ou seja, basta tomar n ~ 1 (mod 6 ) para garantir que os 3 valores são
primos entre si...
agora mostramos que a_n e b_n são relativamente primos:

claramente se q é um primo, com q|n então, 1-n^2 ~ 1 (mod q)

se n ~ 2 (mod q), 1 - n^2 ~ 1 - 4 ~ -3 (mod q) => como q != 3, q não divide
1-n^2

se q|(2n - 1) então 2n ~ 1 (mod q)
1 - n^2 ~ 2n - n^2 ~ n(2 - n) (mod q) => n ~ 0 (mod q) ou n ~ 2 (mod q) são
as únicas maneiras de termos q|1-n^2, mas n, n-2 e 2n - 1 são primos entre
si.

[ ]'s

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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