Re: [obm-l] Olimpiada da India

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

Claudio Buffara wrote:

> 5.  x1, x2, ... , xn are reals > 1 such that |xi - x(i+1)| < 1 for i < n.
> Show that x1/x2 + x2/x3 + ... + x(n-1)/xn + xn/x1 < 2n-1.

	Ninguém fez esse ainda né?
	Então vamos lá, por indução em n:

- base de indução

	Para n=2, temos que provar que x1/x2 + x2/x1 < 3

	Podemos assumir wlog que x1 > x2, logo x1-x2 > 0

	Sabemos que |x1-x2| < 1 => x1-x2 < 1		
	Como x2>1, então podemos dividir por x2:
	x1/x2 - x2/x2 < 1/x2
	x1/x2 - 1 < 1/x2
	x1/x2 < 1 + 1/x2

	Agora, x2 > 1, logo 1/x2 < 1 e portanto:
	x1/x2 < 1 + 1/x2 < 2  [I]

	Por outro lado, fazendo x1=x2+(x1-x2), e notando
que x1>1, podemos dividir por x1 e temos:

	x1/x1 = x2/x1 + (x1-x2)/x1
	1 = x2/x1 + (x1-x2)/x1
	x2/x1 = 1 - (x1-x2)/x1

	Como 0 < x1-x2 < 1 e x1 > 1, então
	0 < (x1-x2)/x1 < 1/x1 < 1

	e portanto

	x2/x1 = 1 - (algo entre 0 e 1)
	x2/x1 < 1 [II]

	somando [I] e [II]:

	x1/x2 + x2/x1 < 3

- passo indutivo

	Seja p=x1/x2 + x2/x3 + ... + xn-1/xn + xn/x1
	Vamos assumir que p<2n-1 [III]

	Queremos provar que:

x1/x2 + x2/x3 + ... + xn-1/xn + xn/xn+1 + xn+1/x1 < 2(n+1)-1

	Mas isso é igual a provar que

	p - xn/x1 + xn/xn+1 + xn+1/x1 < 2n+1 [IV]

	Subtraindo [III] de [IV], resta provar que:

	(xn+1 - xn)/x1 + xn/xn+1 < 2

	Vou quebrar em dois casos:

- - Caso A: xn+1 > xn

	Nesse caso 0 < xn+1 - xn < 1, e como x1>1 ,

	(xn+1 - xn)/x1 < 1  [V]

	Fazendo agora xn+1=xn+(xn+1-xn), e notando
que xn+1>1, podemos dividir e ter:

	xn+1/xn+1 = xn/xn+1 + (xn+1-xn)/xn+1
	1 = xn/xn+1 + (xn+1-xn)/xn+1
	xn/xn+1 = 1 - (xn+1-xn)/xn+1

	Como 0 < xn+1 - xn < 1, e xn>1 , então
		
	0 < (xn+1-xn)/xn+1 < 1
	
	e portanto

	xn/xn+1 = 1 - (algo entre 0 e 1)
	xn/xn+1 < 1 [VI]

	Somando [VI] e [V] concluímos que:

	(xn+1 - xn)/x1 + xn/xn+1 < 2

- - Caso B: xn > xn+1

	Agora -1 < xn+1 - xn < 0, e como x1>1,

	-1 < (xn+1 - xn)/x1 < 0  [VII]

	Fazendo xn=xn+1+(xn-xn+1), e notando que xn+1>1,
podemos dividir e ter:

	xn/xn+1 = xn+1/xn+1 + (xn-xn+1)/xn+1
	xn/xn+1 = 1 + (xn-xn+1)/xn+1

	Mas 0<(xn-xn+1)<1 e xn+1>1, então

	0 < (xn-xn+1)/xn+1 < 1

	e portanto:

	xn/xn+1 = 1 + (algo entre 0 e 1)
	xn/xn+1 < 2 [VII]

	Sabemos de [VII] que (xn+1 - xn)/x1 é um negativo,
então podemos somá-lo ao primeiro termo de [VII] sem mudar
a desigualdade:

	(xn+1 - xn)/x1 + xn/xn+1 < 2

	... e isso conclui a demonstração.

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br           "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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