[obm-l] Olimpiada da India - Correcao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Escrevi a maior bobagem na minha solucao, mas tem conserto. Veja abaixo...
> 
>> 2. Show that there are infinitely many pairs (a,b) of coprime integers
>> (which may be negative, but not zero) such that x^2 + ax + b = 0 and
>> x^2 + 2ax + b have integral roots.
>> 
>> 
> E que tal isso aqui?
> 
> Se mdc(a,b) = 1, entao as raizes de cada equacao tem que ser inteiros primos
> entre si. Nesse caso, a ideia mais simples que me ocorre eh tentar achar
> inteiros m, n, p primos entre si 2 a 2, tais que:
> b = mnp;
> -a = mn + p;
> -2a = m + np.
> 
> Ou seja, m + np = 2(mn + p) ==>
> (n - 2)p = (2n - 1)m ==>
> p divide 2n - 1  e  m divide n - 2.
> 
> Entao, porque nao botar logo p = 2n - 1  e  m = n - 2 ?
> 
> Nesse caso, ficaremos com:
> Raizes de x^2 + ax + b = 0:  n(n-2)  e  2n-1
> -a = n(n-2) + (2n-1) = n^2 - 1
> b = n(n-2)(2n-1)
> 
> Raizes de x^2 + 2ax + b = 0:  n-2  e  n(2n-1)
> -2a = n-2 + n(2n-1) = 2n^2 - 2
> b = n(n-2)(2n-1)
> 
> Ou seja, para n > 2, tomamos os pares:
> (a,b) = (a_n,b_n) = ( 1 - n^2 , n(n-2)(2n-1) )
> 
> Como os polinomios a(x) = 1 - x^2 = -(x-1)(x+1) e b(x) = x(x-2)(2x-1) sao
> primos entre si, vao existir polinomios r(x) e s(x) com coeficientes inteiros
> e tais que:
> a(x)*r(x) + b(x)*s(x) = 1

ISSO NAO EH VERDADE EM GERAL: De fato, existem os polinomios r(x) e s(x) mas
eles nao tem necessariamente coeficientes inteiros.

***

Solucao corrigida:

n-1 eh sempre primo com n e com n-2. Alem disso, 1*(2n-1) - 2*(n-1) = 1, o
que implica que n-1 tambem eh primo com 2n-1.

n+1 eh sempre primo com n, mas nao necessariamente com n-2 ou 2n-1.
No entanto, se escolhermos n = 6k, teremos:
n+1 = 6k+1, n-2 = 6k-2  e  2n-1 = 12k-1, de modo que:
mdc(n+1,n-2) = mdc(n+1,(n+1)-(n-2)) = mdc(n+1,3) = mdc(6k+1,3) = 1
e
mdc(n+1,2n-1) = mdc(n+1,2*(n+1) - (2n-1)) = mdc(n+1,3) = 1

Logo, basta escolher a = 1 - n^2  e  b = n(n-2)(2n-1), com n = 6k e k >=1.


[]s,
Claudio.
 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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