Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...

on 20.04.04 18:35, Alan Pellejero at mathhawk2003@yahoo.com.br wrote:

pessoal, eu provei que para isso ser verdade, sendo a e b <> 0,  a = b, conforme eu disse no e-mail anterior...
Minha prova é a seguinte, por favor, analisem se esta é verdadeira....

Um inteiro é da forma p/q, q<>0, p e q inteiros e p sendo múltiplo de q (mdc entre a e b é 1).
(a^2 + b^2) / (ab + 1) = p/q

então a^2 = p - b^2  
        a = (q - 1) / b => a^2 = (q - 1)^2/b^2
Portanto, p - b^2 = (q - 1)^2/b^2 => p = [(q - 1)^2/b^2] + b^2

da mesma maneira,

p = [(q - 1)^2/a^2] + a^2

***** O ERRO ESTAH AQUI *****

[(q - 1)^2/b^2] + b^2 = [(q - 1)^2/a^2] + a^2
nao implica necessariamente que a^2 = b^2.

Por exemplo, tome a = 8, b = 2 e q = 17.

***************************

então, tem-se que a^2 = b^2
sendo a e b naturais, a = b

Então teríamos o seguinte:

Prove que, sendo inteiro,  
2a^2/(a^2 + 1)  
é um quadrado perfeito...
Foi ai que eu travei...
Eu tentei frações parciais e nada, tentei provar que isso era a soma dos n primeiro números ímpares, de acordo com a teoria pitagórica de números e tal...mas nada!
Então, digam se eu errei nessa demonstração, pois é ela que me está dando suporte para provar...
Pessoal, avaliem o que eu fiz, por favor, inclusive dizendo onde e por qual motivo eu errei ou acertei...
Muito obrigado!!!
Um abração
Alan Pellejero




Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

on 20.04.04 11:36, Alan Pellejero at mathhawk2003@yahoo.com.br wrote:

Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0, para que (a^2 + b^2)  / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a = b.
Bom, gostaria de saber se isso é válido...
Dai, o que estava tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito, desde que fosse um inteiro.
Gostaria que desse um contra-exemplo ou pusessem a posição a respeito.
Se vcs quiserem, eu mostro como eu cheguei a esta conclusão...
Um abração
Alan Pellejero


Oi, Alan:

Repare que 2a^2/(a^2 + 1) = 2 - 2/(a^2 + 1) e isso soh eh inteiro quando a^2 +1 divide 2, ou seja, quando a^2 + 1 = 1 ou 2 <==> a = 0 ou 1.

Se excluirmos o caso a = 0, entao soh sobra a = 1 ==>
2a^2/(a^2 + 1) = 1 = 1^2.

Assim, o que podemos afirmar eh que se a = b > 0, entao:
(a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro <==>
(a^2 + b^2)/(1 + ab) = 1 <==>
(a^2 + b^2)/(1 + ab) eh quadrado perfeito.

No entanto, existem outros casos onde (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro (e quadrado perfeito) com a > b. Por exemplo, tome a = n^3 e b = n, com n um natural qualquer.

[]s,
Claudio.

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