pessoal, eu provei que para isso ser verdade, sendo a e b <>
0, a = b, conforme eu disse no e-mail anterior...
Minha prova é a seguinte, por favor, analisem se esta é
verdadeira....
Um inteiro é da forma p/q, q<>0, p e q inteiros e p sendo múltiplo
de q (mdc entre a e b é 1).
(a^2 + b^2) / (ab + 1) = p/q
então a^2 = p - b^2
a = (q - 1) / b =>
a^2 = (q - 1)^2/b^2
Portanto, p - b^2 = (q - 1)^2/b^2 => p = [(q - 1)^2/b^2] +
b^2
da mesma maneira,
p = [(q - 1)^2/a^2] + a^2
então, tem-se que a^2 = b^2
sendo a e b naturais, a = b
Então teríamos o seguinte:
Prove que, sendo inteiro,
2a^2/(a^2 + 1)
é um quadrado perfeito...
Foi ai que eu travei...
Eu tentei frações parciais e nada, tentei provar que isso era a soma dos
n primeiro números ímpares, de acordo com a teoria pitagórica de números e
tal...mas nada!
Então, digam se eu errei nessa demonstração, pois é ela que me está dando
suporte para provar...
Pessoal, avaliem o que eu fiz, por favor, inclusive dizendo onde e por
qual motivo eu errei ou acertei...
Muito obrigado!!!
Um abração
Alan Pellejero
Claudio
Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
on
20.04.04 11:36, Alan Pellejero at mathhawk2003@yahoo.com.br wrote:
Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de
argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0,
para que (a^2 + b^2) / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que
seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a =
b.
Bom, gostaria de saber se isso é válido...
Dai, o que estava
tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito,
desde que fosse um inteiro.
Gostaria que desse um contra-exemplo ou
pusessem a posição a respeito.
Se vcs quiserem, eu mostro como eu
cheguei a esta conclusão...
Um abração
Alan Pellejero
Oi,
Alan:
Repare que 2a^2/(a^2 + 1) = 2 - 2/(a^2 + 1) e isso soh eh
inteiro quando a^2 +1 divide 2, ou seja, quando a^2 + 1 = 1 ou 2
<==> a = 0 ou 1.
Se excluirmos o caso a = 0, entao soh sobra
a = 1 ==>
2a^2/(a^2 + 1) = 1 = 1^2.
Assim, o que podemos
afirmar eh que se a = b > 0, entao:
(a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro
<==>
(a^2 + b^2)/(1 + ab) = 1 <==>
(a^2 + b^2)/(1 +
ab) eh quadrado perfeito.
No entanto, existem outros casos onde
(a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro (e quadrado perfeito) com a > b. Por
exemplo, tome a = n^3 e b = n, com n um natural
qualquer.
[]s,
Claudio.
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