Re: [obm-l] espaço métrico normado

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Bom dia!

Um colega apresentou estes problemas na semana passada
mas acho que ainda naum obteve resposta aqui na lista.
Eu creio que consegui uma saida para o primeiro, o da
base de Schauder. Alias, ateh o colega apresentar o
problema, eu nunca tinho ouvido falar em base de
Schauder  e nem mesmo no proprio Schauder. Vivendo e
aprendendo. Naum encontrei a prova que ele queria,
assim aqui vai a minha ideia. 

Suponhamos que X seja um espaco vetorial sobre o corpo
dos reais. De acordo com a definicao de base de
Schauder,todo x de X pode ser representado por uma
combinacao linear infinita dos vetores {e_n}. Mais
precisamente, x eh o limite da serie infinita Soma
(ax_n * e_n), onde cada ax_n eh um numero real (de
forma mais geral, cada ax_n) eh um escalar do corpo
sobre o qual X eh construido). A letra x foi
introduzida para enfatizar que os escalares da serie
dependem de x.

Como para cada x a dada serie converge para x, a
sequencia de suas somas parciais tambem converge para
x. Escolhendo-se n suficientemente grande podemos,
portanto, fazer com que ||S_n - x|| <eps para todo
eps>0 arbitrariamente escolhido, sendo S_n a soma
parcial de indice n. Definamos D como o conjunto de
todas as combinacoes lineares dos e_n, isto eh, D =
{c1 * e_1 ...+ c_n * e_n | n eh natural, c_n estah em
R}. Temos entao que D eh denso em X, pois D engloba as
combinacoes lineares correspondentes aos termos das
somas parciais da base de Schauder para cada x de X.
D, entretanto, naum eh enumeravel, pois os reais naum
o sao. Mas, como os racionais sao enumeraveis e densos
em R, o conjunto D' ={c1 * e_1 ...+ c_n * e_n | n eh
natural, c_n eh racional}, ou seja, o conjunto das
combinacoes linears racionais dos e_n, eh enumeravel
eh tambem denso em X. Assim, X contem um conjunto
denso e enumeravel, sendo portanto separavel.

Se X for um corpo sobre os complexos, podemos tomar o
conjunto das combinacoes lineares cujos coeficientes
sao complexos com parte real e imaginaria racionais. 
De modo geral, sde X for um espaco vetorial sobre um
corpo C e C for separavel (na metrica nele definida),
entao X eh separavel, pois podemos escolher o conjunto
composto pelas combinacoes lineares com escalares
pertencentes a um subconjunto denso e enumeravel de C.

Acho que estah OK. Ainda naum pensei no outro
problema.
Artur 

 

 
--- ghaeser@zipmail.com.br wrote:
> Olá,
> 
> preciso de ajuda nesses dois problemas.. se alguém
> puder ajudar, agradeço.
> 
> 1) Mostre que se um espaço métrico normado possui
> uma base de Schauder então
> ele é separável.
> 
> 2) Mostre que em um espaço métrico normado, se
> convergência absoluta implicar
> convergência então o espaço é completo (de Banach)
> 
> obs: um espaço métrico é separável se possui um
> subconjunto denso e enumerável.
> obs2: um espaço métrico normado possui uma base de
> Schauder se este contem
> uma sequencia (e_n) tal que para todo elemento x do
> espaço, existe uma sequencia
> única (a_n) tal que || x - soma(a_k . e_k, k=1,..,n)
> || -> 0 quando n ->
> infinito.
> 
> obrigado.
> 
> Gabriel Haeser.
> 
> 
> 
> ------------------------------------------
> Use o melhor sistema de busca da Internet
> Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
> 
> 
> 
> 
>
=========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=========================================================================



	
		
__________________________________
Do you Yahoo!?
Yahoo! Tax Center - File online by April 15th
http://taxes.yahoo.com/filing.html
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================