RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Ola Rafael,

	Eu realmente nao consegui entender o objetivo dos seus comentarios.
De qualquer modo, eu estou comentando-os parte por parte.


Seu comentario:
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"Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é
racional.".

Meu comentario:
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No texto que eu escrevi, eu nao afirmei em momento algum que a e b devem ser
distintos, mas simplesmente racionais. A sua conclusao sobre a^2 e a^2 - b
serem racionais e' obvia, mesmo que a e b sejam racionais iguais. Isto e'
consequencia da propriedade de fechamento das operacoes de adicao e
multiplicacao do conjunto dos numeros racionais.



Seu comentario:
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"Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)] numa soma
ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será
irracional."

Meu comentario:
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Esta sua conclusao nao tem o menor embasamento teorico. De qualquer modo,
segue um contra-exemplo bem simples que comprova que a sua conclusao e'
falsa. Suponha a = 5/2 (racional) e b = 4 (racional), entao teremos a^2 - b
= (5/2)^2 - 4 = 25/4 - 4 = 9/4. Sendo assim, sqrt(a^2 - b) = sqrt(9/4) =
3/2, que e' racional. Portanto, a sua conclusao de que sqrt(a^2 - b) será
irracional esta' errada.



Seu comentario:
---------------
"Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro
não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são
*naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo."

Meu comentario:
---------------
Esta conclusao tambem nao tem o menor embasamento teorico. A reducao de
radicais duplos em radicais simples nao exige que a, b e sqrt(a^2 - b) sejam
naturais. Vamos a um exemplo de reducao de radicais duplos em radicais
simples em que a, b e sqrt(a^2 - b) sao racionais nao inteiros.
No radical duplo sqrt(5/3 + sqrt(7/3)), temos a = 5/3, b = 7/3 e sqrt(a^2 -
b) = sqrt[(5/3)^2 - 7/3] = sqrt(25/9 - 7/3) = sqrt[(25 - 21)/9] = sqrt(4/9)
= 2/3.
Sendo assim, podemos converter o radical duplo para radical simples, como
segue:
sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt[(5/3 + 2/3) / 2] + sqrt[(5/3 - 2/3) / 2]
sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt(7/6) + sqrt(1/2)


De qualquer modo, eu agradeco pela sua atencao.

Abracos,

Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Rafael
Sent: quinta-feira, 15 de abril de 2004 10:52
To: OBM-L
Subject: Re: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!

Rogério,

Farei apenas um comentário sobre as condições de redução dos radicais duplos
a radicais simples. Você escreveu: "Dada a expressão com radicais duplos v(a
+ vb), com a e b racionais, vb irracional e a + vb positivo, (...)"

Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é
racional. Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)]
numa soma ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será
irracional. Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro
não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são
*naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio





----- Original Message -----
From: "Rogério Moraes de Carvalho" <rogeriom@gmx.net>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, April 15, 2004 8:05 AM
Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!


Olá Daniel,

Muitos dos problemas que envolvem expressões com radicais duplos podem ser
resolvidos facilmente quando são realizadas as reduções para expressões com
radicais simples equivalentes. Existe uma fórmula para a redução, mas o
importante é entender como deduzi-la, pois o raciocínio é muito simples.

Redução de radicais duplos em radicais simples equivalentes
-----------------------------------------------------------
Dada a expressão com radicais duplos v(a + vb), com a e b racionais, vb
irracional e a + vb positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos
tais que: v(a + vb) = vx1 + vx2.

Observe que de acordo com as condições dadas, ambos os membros da igualdade
são positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro
membro da igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo
que a volta continua válida.
[v(a + vb)]² = (vx1 + vx2)²
a + vb = x1 + 2vx1vx2 + x2
a + vb = (x1 + x2) + v(4.x1.x2)

Sendo a, b, x1 e x2 racionais e vb irracional, a igualdade somente vai ser
verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b <=> x1.x2 = b/4

Portanto, x1 e x2 são raízes da seguinte equação quadrática:
x² - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 <=> x² - ax + b/4 = 0

Calculando o discriminante, encontramos:
? = (-a)² - 4.1.(b/4) <=> ? = a² - b

Sendo assim, a nossa expressão somente poderá ser reduzida a radicais
simples se o discriminante (a² - b) for um quadrado de um racional. Se esta
condição for satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + v(a² - b)] / 2 = [a + v(a² - b)] / 2
x2 = [-(-a) - v(a² - b)] / 2 = [a - v(a² - b)] / 2
Ou vice-versa.

Conclusão:
A expressão com radicais duplos v(a + vb), com a e b racionais, vb
irracional e a + vb positivo, pode ser transformada em uma expressão com
radicais simples quando a² - b for um quadrado de um racional. A
transformação é dada pela seguinte fórmula:
v(a + vb) = v{[a + v(a² - b)] / 2} + v{[a - v(a² - b)] / 2}

Analogamente, podemos demonstrar que a expressão com radicais duplos
v(a - vb), com a e b racionais, vb irracional e a - vb positivo, pode ser
transformada em uma expressão com radicais simples quando a² - b for um
quadrado de um racional. A transformação é dada pela seguinte fórmula:
v(a - vb) = v{[a + v(a² - b)] / 2} - v{[a - v(a² - b)] / 2}


Resolução do problema proposto:
-------------------------------
Simplifique a expressão:
(2 + v3) / [v2 + v(2 + v3)] + (2 - v3) / [v2 - v(2 - v3)]

Vamos verificar se é possível reduzir as expressões com radicais duplos para
expressões com radicais simples.
Na expressão v(2 + v3), temos a = 2 e b = 3. Como a² - b = 4 - 3 = 1, que é
o quadrado de um racional (1 = 1²), a transformação é possível.
v(2 + v3) = v[(2 + 1) / 2] + v[(2 - 1) / 2] = v(3/2) + v(1/2) = v3/v2 + 1/v2
Analogamente, teremos:
v(2 - v3) = v3/v2 - 1/v2

Logo:
(2 + v3) / [v2 + v(2 + v3)] + (2 - v3) / [v2 - v(2 - v3)] =
= (2 + v3) / [v2 + (v3/v2 + 1/v2)] + (2 - v3) / [v2 - (v3/v2 - 1/v2)] =
= (2 + v3) / [(2 + v3 + 1)/v2] + (2 - v3) / [(2 - v3 + 1)/v2] =
= v2(2 + v3) / (3 + v3) + v2(2 - v3) / (3 - v3) =
= [v2(2 + v3)(3 - v3) + v2(2 - v3)(3 + v3)] / [(3 + v3) (3 - v3)] =
= [v2(6 - 2v3 + 3v3 - 3) + v2(6 + 2v3 -3v3 - 3)] / (9 - 3) =
= v2[(3 + v3) + (3 - v3)] / 6 = 6v2 / 6 = v2

Portanto, a expressão simplificada é igual a v2.

Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho

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Instru es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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