Re: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Rogério,

Farei apenas um comentário sobre as condições de redução dos radicais duplos
a radicais simples. Você escreveu: "Dada a expressão com radicais duplos √(a
+ √b), com a e b racionais, √b irracional e a + √b positivo, (...)"

Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é
racional. Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)]
numa soma ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será
irracional. Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro
não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são
*naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio





----- Original Message -----
From: "Rogério Moraes de Carvalho" <rogeriom@gmx.net>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, April 15, 2004 8:05 AM
Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!


Olá Daniel,

Muitos dos problemas que envolvem expressões com radicais duplos podem ser
resolvidos facilmente quando são realizadas as reduções para expressões com
radicais simples equivalentes. Existe uma fórmula para a redução, mas o
importante é entender como deduzi-la, pois o raciocínio é muito simples.

Redução de radicais duplos em radicais simples equivalentes
-----------------------------------------------------------
Dada a expressão com radicais duplos √(a + √b), com a e b racionais, √b
irracional e a + √b positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos
tais que: √(a + √b) = √x1 + √x2.

Observe que de acordo com as condições dadas, ambos os membros da igualdade
são positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro
membro da igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo
que a volta continua válida.
[√(a + √b)]² = (√x1 + √x2)²
a + √b = x1 + 2√x1√x2 + x2
a + √b = (x1 + x2) + √(4.x1.x2)

Sendo a, b, x1 e x2 racionais e √b irracional, a igualdade somente vai ser
verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b <=> x1.x2 = b/4

Portanto, x1 e x2 são raízes da seguinte equação quadrática:
x² - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 <=> x² - ax + b/4 = 0

Calculando o discriminante, encontramos:
Δ = (-a)² - 4.1.(b/4) <=> Δ = a² - b

Sendo assim, a nossa expressão somente poderá ser reduzida a radicais
simples se o discriminante (a² - b) for um quadrado de um racional. Se esta
condição for satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + √(a² - b)] / 2 = [a + √(a² - b)] / 2
x2 = [-(-a) - √(a² - b)] / 2 = [a - √(a² - b)] / 2
Ou vice-versa.

Conclusão:
A expressão com radicais duplos √(a + √b), com a e b racionais, √b
irracional e a + √b positivo, pode ser transformada em uma expressão com
radicais simples quando a² - b for um quadrado de um racional. A
transformação é dada pela seguinte fórmula:
√(a + √b) = √{[a + √(a² - b)] / 2} + √{[a - √(a² - b)] / 2}

Analogamente, podemos demonstrar que a expressão com radicais duplos
√(a - √b), com a e b racionais, √b irracional e a - √b positivo, pode ser
transformada em uma expressão com radicais simples quando a² - b for um
quadrado de um racional. A transformação é dada pela seguinte fórmula:
√(a - √b) = √{[a + √(a² - b)] / 2} - √{[a - √(a² - b)] / 2}


Resolução do problema proposto:
-------------------------------
Simplifique a expressão:
(2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + (2 - √3) / [√2 - √(2 - √3)]

Vamos verificar se é possível reduzir as expressões com radicais duplos para
expressões com radicais simples.
Na expressão √(2 + √3), temos a = 2 e b = 3. Como a² - b = 4 - 3 = 1, que é
o quadrado de um racional (1 = 1²), a transformação é possível.
√(2 + √3) = √[(2 + 1) / 2] + √[(2 - 1) / 2] = √(3/2) + √(1/2) = √3/√2 + 1/√2
Analogamente, teremos:
√(2 - √3) = √3/√2 - 1/√2

Logo:
(2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + (2 - √3) / [√2 - √(2 - √3)] =
= (2 + √3) / [√2 + (√3/√2 + 1/√2)] + (2 - √3) / [√2 - (√3/√2 - 1/√2)] =
= (2 + √3) / [(2 + √3 + 1)/√2] + (2 - √3) / [(2 - √3 + 1)/√2] =
= √2(2 + √3) / (3 + √3) + √2(2 - √3) / (3 - √3) =
= [√2(2 + √3)(3 - √3) + √2(2 - √3)(3 + √3)] / [(3 + √3) (3 - √3)] =
= [√2(6 - 2√3 + 3√3 - 3) + √2(6 + 2√3 -3√3 - 3)] / (9 - 3) =
= √2[(3 + √3) + (3 - √3)] / 6 = 6√2 / 6 = √2

Portanto, a expressão simplificada é igual a √2.

Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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