RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!

[Daniel Silva Braz <dsbraz@xxxxxxxxxxxx>]

Rogério,
como você pode perceber (abaixo)..infelizmente não
consegui ler nada na sua msg...

Daniel S. Braz

==============================

 --- Rogério_Moraes_de_Carvalho <rogeriom@gmx.net>
escreveu: > Olá Daniel,
> 
> 	Muitos dos problemas que envolvem expressões com
> radicais duplos podem ser resolvidos facilmente
> quando são realizadas as reduções para
> expressões com radicais simples equivalentes.
> Existe uma fórmula para a redução, mas o
> importante é entender como deduzi-la, pois o
> raciocínio é muito simples.
> 
> Redução de radicais duplos em radicais simples
> equivalentes
>
-----------------------------------------------------------
> Dada a expressão com radicais duplos √(a + √b),
> com a e b racionais, √b irracional e a + √b
> positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais
> positivos tais que: √(a + √b) = √x1 + √x2.
> 
> Observe que de acordo com as condições dadas,
> ambos os membros da igualdade são positivos.
> Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do
> primeiro membro da igualdade, podemos elevar ambos
> os membros ao quadrado garantindo que a volta
> continua válida.
> [√(a + √b)]² = (√x1 + √x2)²
> a + √b = x1 + 2√x1√x2 + x2
> a + √b = (x1 + x2) + √(4.x1.x2)
> 
> Sendo a, b, x1 e x2 racionais e √b irracional, a
> igualdade somente vai ser verdadeira se tivermos:
> x1 + x2 = a
> 4.x1.x2 = b <=> x1.x2 = b/4
> 
> Portanto, x1 e x2 são raízes da seguinte equação
> quadrática:
> x² - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 <=> x² - ax + b/4 = 0
> 
> Calculando o discriminante, encontramos:
> Δ = (-a)² - 4.1.(b/4) <=> Δ = a² - b
> 
> Sendo assim, a nossa expressão somente poderá ser
> reduzida a radicais simples se o discriminante (a²
> - b) for um quadrado de um racional. Se esta
> condição for satisfeita, teremos:
> x1 = [-(-a) + √(a² - b)] / 2 = [a + √(a² - b)]
> / 2
> x2 = [-(-a) - √(a² - b)] / 2 = [a - √(a² - b)]
> / 2
> Ou vice-versa.
> 
> Conclusão:
> A expressão com radicais duplos √(a + √b), com
> a e b racionais, √b irracional e a + √b
> positivo, pode ser transformada em uma expressão
> com radicais simples quando a² - b for um quadrado
> de um racional. A transformação é dada pela
> seguinte fórmula:
> √(a + √b) = √{[a + √(a² - b)] / 2} + √{[a
> - √(a² - b)] / 2}
> 
> Analogamente, podemos demonstrar que a expressão
> com radicais duplos
> √(a - √b), com a e b racionais, √b irracional
> e a - √b positivo, pode ser transformada em uma
> expressão com radicais simples quando a² - b for
> um quadrado de um racional. A transformação é
> dada pela seguinte fórmula:
> √(a - √b) = √{[a + √(a² - b)] / 2} - √{[a
> - √(a² - b)] / 2} 
> 
> 
> Resolução do problema proposto:
> -------------------------------
> Simplifique a expressão:
> (2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + (2 - √3) /
> [√2 - √(2 - √3)]
> 
> Vamos verificar se é possível reduzir as
> expressões com radicais duplos para expressões com
> radicais simples.
> Na expressão √(2 + √3), temos a = 2 e b = 3.
> Como a² - b = 4 - 3 = 1, que é o quadrado de um
> racional (1 = 1²), a transformação é possível.
> √(2 + √3) = √[(2 + 1) / 2] + √[(2 - 1) / 2]
> = √(3/2) + √(1/2) = √3/√2 + 1/√2
> Analogamente, teremos:
> √(2 - √3) = √3/√2 - 1/√2
> 
> Logo:
> (2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + (2 - √3) /
> [√2 - √(2 - √3)] =
> = (2 + √3) / [√2 + (√3/√2 + 1/√2)] + (2 -
> √3) / [√2 - (√3/√2 - 1/√2)] =
> = (2 + √3) / [(2 + √3 + 1)/√2] + (2 - √3) /
> [(2 - √3 + 1)/√2] = 
> = √2(2 + √3) / (3 + √3) + √2(2 - √3) / (3
> - √3) = 
> = [√2(2 + √3)(3 - √3) + √2(2 - √3)(3 +
> √3)] / [(3 + √3) (3 - √3)] =
> = [√2(6 - 2√3 + 3√3 - 3) + √2(6 + 2√3
> -3√3 - 3)] / (9 - 3) =
> = √2[(3 + √3) + (3 - √3)] / 6 = 6√2 / 6 =
> √2
> 
> Portanto, a expressão simplificada é igual a √2.
> 
> Atenciosamente,
> 
> Rogério Moraes de Carvalho
> 
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On Behalf Of
> Daniel Silva Braz
> Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Problemas com radicais -
> CORRIGINDO!!
> 
> corrigindo o primeiro problema...mandei o problema
> errado...
> 
> (2 + sqr(3)) / (sqr(2) + sqr(2 + sqr(3))) + (2 -
> sqr(3)) / (sqr(2) - sqr(2 - sqr(3)))
> 
> Daniel S. Braz
> 
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