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RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!

Ola Daniel,

	Infelizmente a minha mensagem original ficou completamente ilegivel. Segue a mensagem reescrita sem acentuacao e sem caracteres especiais.


	Muitos dos problemas que envolvem expressoes com radicais duplos podem ser resolvidos facilmente quando sao realizadas as reducoes para expressoes com radicais simples equivalentes. Existe uma formula para a reducao, mas o importante e' entender como deduzi-la, pois o raciocinio e' muito simples.

Reducao de radicais duplos em radicais simples equivalentes
-----------------------------------------------------------
Dada a expressao com radicais duplos sqr[a + sqr(b)], com a e b racionais não nulos, sqr(b) irracional e a + sqr(b) positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos tais que: sqr[a + sqr(b)] = sqr(x1) + sqr(x2).

Observe que, de acordo com as condicoes dadas, ambos os membros da igualdade sao positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro membro da igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo que a volta continua valida.
{sqr[a + sqr(b)]}^2 = [sqr(x1) + sqr(x2)]^2
a + sqr(b) = x1 + 2sqr(x1)sqr(x2) + x2
a + sqr(b) = (x1 + x2) + sqr(4.x1.x2)

Sendo a, b, x1 e x2 racionais e sqr(b) irracional, a igualdade somente vai ser verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b <=> x1.x2 = b/4

Portanto, x1 e x2 sao raizes da seguinte equacao quadratica:
x^2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 <=> x^2 - ax + b/4 = 0

Calculando o discriminante, encontramos:
delta = (-a)^2 - 4.1.(b/4) <=> delta = a^2 - b

Sendo assim, a nossa expressao somente podera ser reduzida a radicais simples se o discriminante (a^2 - b) for igual ao quadrado de um racional. Se esta condicao for satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + sqr(a^2 - b)] / 2 = [a + sqr(a^2 - b)] / 2
x2 = [-(-a) - sqr(a^2 - b)] / 2 = [a - sqr(a^2 - b)] / 2
Ou vice-versa.

Conclusão:
A expressão com radicais duplos sqr[a + sqr(b)], com a e b racionais não nulos, sqr(b) irracional e a + sqr(b) positivo, pode ser transformada em uma expressao com radicais simples quando a^2 - b for igual ao quadrado de um racional. Portanto, a transformacao e' dada pela seguinte formula:
sqr[a + sqr(b)] = sqr{[a + sqr(a^2 - b)]/2} + sqr{[a - sqr(a^2 - b)]/2}

Analogamente, podemos demonstrar que a expressao com radicais duplos sqr[a - sqr(b)], com a e b racionais nao nulos, sqr(b) irracional e a - sqr(b) positivo, pode ser transformada em uma expressao com radicais simples quando a^2 - b for igual ao quadrado de um racional. Neste caso, a transformacao e' dada pela seguinte formula:
sqr[a - sqr(b)] = sqr{[a + sqr(a^2 - b)]/2} - sqr{[a - sqr(a^2 - b)]/2}


Resolucao do problema proposto:
-------------------------------
Seja a expressao:
[2+sqr(3)]/{sqr(2)+sqr[2+sqr(3)]} + [2-sqr(3)]/{sqr(2)-sqr[2-sqr(3)]} 

Vamos verificar se e' possivel reduzir as expressoes com radicais duplos para expressoes com radicais simples.
Na expressao sqr[2+sqr(3)], temos a = 2 e b = 3. Como a^2 - b = 4 - 3 = 1, que e' o quadrado de um racional (1 = 1^2), entao a transformacao e' possivel.
sqr[2+sqr(3)] = sqr[(2 + 1) / 2] + sqr[(2 - 1) / 2] = sqr(3/2) + sqr(1/2) = sqr(3)/sqr(2) + 1/sqr(2)
Analogamente, teremos:
sqr[2+sqr(3)] = sqr(3)/sqr(2) - 1/sqr(2)

Logo:
[2+sqr(3)]/{sqr(2)+sqr[2+sqr(3)]} + [2-sqr(3)]/{sqr(2)-sqr[2-sqr(3)]} = 
= [2+sqr(3)]/{sqr(2)+[sqr(3)/sqr(2)+1/sqr(2)]} + [2-sqr(3)]/{sqr(2)-[ sqr(3)/sqr(2)-1/sqr(2)]} =
= [2+sqr(3)]/{[2+sqr(3)+1]/sqr(2)} + [2-sqr(3)]/{[2-sqr(3)+1]/sqr(2)} =
= sqr(2)[2+sqr(3)]/[3+sqr(3)] + sqr(2)[2-sqr(3)]/[3-sqr(3)] =
= {sqr(2)[2+sqr(3)][3-sqr(3)] + sqr(2)[2-sqr(3)][3+sqr(3)]}/{[3+sqr(3)] [3-sqr(3)]} =
= {sqr(2)[6-2sqr(3)+3sqr(3)-3] + sqr(2)[6+2sqr(3)-3sqr(3)-3]}/(9-3) =
= sqr(2){[3+sqr(3)]+[3-sqr(3)]}/6 = 6sqr(2)/6 = sqr(2)

Portanto, a expressao simplificada e' igual a sqr(2).


Rogerio Moraes de Carvalho

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Daniel Silva Braz
Sent: quinta-feira, 15 de abril de 2004 10:54
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!

Rogério,
como você pode perceber (abaixo)..infelizmente não
consegui ler nada na sua msg...

Daniel S. Braz

==============================

 --- Rogério_Moraes_de_Carvalho <rogeriom@gmx.net>
escreveu: > Olá Daniel,
> 
> 	Muitos dos problemas que envolvem expressões com
> radicais duplos podem ser resolvidos facilmente
> quando são realizadas as reduções para
> expressões com radicais simples equivalentes.
> Existe uma fórmula para a redução, mas o
> importante é entender como deduzi-la, pois o
> raciocínio é muito simples.
> 
> Redução de radicais duplos em radicais simples
> equivalentes
>
-----------------------------------------------------------
> Dada a expressão com radicais duplos √(a + √b),
> com a e b racionais, √b irracional e a + √b
> positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais
> positivos tais que: √(a + √b) = √x1 + √x2.
> 
> Observe que de acordo com as condições dadas,
> ambos os membros da igualdade são positivos.
> Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do
> primeiro membro da igualdade, podemos elevar ambos
> os membros ao quadrado garantindo que a volta
> continua válida.
> [√(a + √b)]² = (√x1 + √x2)²
> a + √b = x1 + 2√x1√x2 + x2
> a + √b = (x1 + x2) + √(4.x1.x2)
> 
> Sendo a, b, x1 e x2 racionais e √b irracional, a
> igualdade somente vai ser verdadeira se tivermos:
> x1 + x2 = a
> 4.x1.x2 = b <=> x1.x2 = b/4
> 
> Portanto, x1 e x2 são raízes da seguinte equação
> quadrática:
> x² - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 <=> x² - ax + b/4 = 0
> 
> Calculando o discriminante, encontramos:
> Δ = (-a)² - 4.1.(b/4) <=> Δ = a² - b
> 
> Sendo assim, a nossa expressão somente poderá ser
> reduzida a radicais simples se o discriminante (a²
> - b) for um quadrado de um racional. Se esta
> condição for satisfeita, teremos:
> x1 = [-(-a) + √(a² - b)] / 2 = [a + √(a² - b)]
> / 2
> x2 = [-(-a) - √(a² - b)] / 2 = [a - √(a² - b)]
> / 2
> Ou vice-versa.
> 
> Conclusão:
> A expressão com radicais duplos √(a + √b), com
> a e b racionais, √b irracional e a + √b
> positivo, pode ser transformada em uma expressão
> com radicais simples quando a² - b for um quadrado
> de um racional. A transformação é dada pela
> seguinte fórmula:
> √(a + √b) = √{[a + √(a² - b)] / 2} + √{[a
> - √(a² - b)] / 2}
> 
> Analogamente, podemos demonstrar que a expressão
> com radicais duplos
> √(a - √b), com a e b racionais, √b irracional
> e a - √b positivo, pode ser transformada em uma
> expressão com radicais simples quando a² - b for
> um quadrado de um racional. A transformação é
> dada pela seguinte fórmula:
> √(a - √b) = √{[a + √(a² - b)] / 2} - √{[a
> - √(a² - b)] / 2} 
> 
> 
> Resolução do problema proposto:
> -------------------------------
> Simplifique a expressão:
> (2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + (2 - √3) /
> [√2 - √(2 - √3)]
> 
> Vamos verificar se é possível reduzir as
> expressões com radicais duplos para expressões com
> radicais simples.
> Na expressão √(2 + √3), temos a = 2 e b = 3.
> Como a² - b = 4 - 3 = 1, que é o quadrado de um
> racional (1 = 1²), a transformação é possível.
> √(2 + √3) = √[(2 + 1) / 2] + √[(2 - 1) / 2]
> = √(3/2) + √(1/2) = √3/√2 + 1/√2
> Analogamente, teremos:
> √(2 - √3) = √3/√2 - 1/√2
> 
> Logo:
> (2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + (2 - √3) /
> [√2 - √(2 - √3)] =
> = (2 + √3) / [√2 + (√3/√2 + 1/√2)] + (2 -
> √3) / [√2 - (√3/√2 - 1/√2)] =
> = (2 + √3) / [(2 + √3 + 1)/√2] + (2 - √3) /
> [(2 - √3 + 1)/√2] = 
> = √2(2 + √3) / (3 + √3) + √2(2 - √3) / (3
> - √3) = 
> = [√2(2 + √3)(3 - √3) + √2(2 - √3)(3 +
> √3)] / [(3 + √3) (3 - √3)] =
> = [√2(6 - 2√3 + 3√3 - 3) + √2(6 + 2√3
> -3√3 - 3)] / (9 - 3) =
> = √2[(3 + √3) + (3 - √3)] / 6 = 6√2 / 6 =
> √2
> 
> Portanto, a expressão simplificada é igual a √2.
> 
> Atenciosamente,
> 
> Rogério Moraes de Carvalho
> 
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On Behalf Of
> Daniel Silva Braz
> Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Problemas com radicais -
> CORRIGINDO!!
> 
> corrigindo o primeiro problema...mandei o problema
> errado...
> 
> (2 + sqr(3)) / (sqr(2) + sqr(2 + sqr(3))) + (2 -
> sqr(3)) / (sqr(2) - sqr(2 - sqr(3)))
> 
> Daniel S. Braz
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