Re: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Caro Rogério,

Eu não consegui entender o que você não entendeu: qual seria o objetivo de
um comentário a não ser emitir uma opinião que pode ou não ter algum
fundamento? Não me queira mal, por favor. Você nem sequer precisaria ter
mutilado o meu minúsculo comentário para comentá-lo...
Não, você não escreveu que 'a' e 'b' deveriam ser distintos e, em momento
algum, disse que o havia feito. Salientiei, e espero que você tenha
compreendido, que o trecho escrito por você estava entre aspas.
Sim, você me deu um contra-exemplo sobre o qual eu não havia pensado e que
eu encaminharei para o autor do livro que escreveu esses absurdos.

Tudo esclarecido? Espero que sim.


Obrigado,

Rafael de A. Sampaio




----- Original Message -----
From: "Rogério Moraes de Carvalho" <rogeriom@gmx.net>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, April 15, 2004 12:36 PM
Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!


Ola Rafael,

Eu realmente nao consegui entender o objetivo dos seus comentarios.
De qualquer modo, eu estou comentando-os parte por parte.


Seu comentario:
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"Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é
racional.".

Meu comentario:
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No texto que eu escrevi, eu nao afirmei em momento algum que a e b devem ser
distintos, mas simplesmente racionais. A sua conclusao sobre a^2 e a^2 - b
serem racionais e' obvia, mesmo que a e b sejam racionais iguais. Isto e'
consequencia da propriedade de fechamento das operacoes de adicao e
multiplicacao do conjunto dos numeros racionais.



Seu comentario:
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"Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)] numa soma
ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será
irracional."

Meu comentario:
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Esta sua conclusao nao tem o menor embasamento teorico. De qualquer modo,
segue um contra-exemplo bem simples que comprova que a sua conclusao e'
falsa. Suponha a = 5/2 (racional) e b = 4 (racional), entao teremos a^2 - b
= (5/2)^2 - 4 = 25/4 - 4 = 9/4. Sendo assim, sqrt(a^2 - b) = sqrt(9/4) =
3/2, que e' racional. Portanto, a sua conclusao de que sqrt(a^2 - b) será
irracional esta' errada.



Seu comentario:
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"Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro
não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são
*naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo."

Meu comentario:
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Esta conclusao tambem nao tem o menor embasamento teorico. A reducao de
radicais duplos em radicais simples nao exige que a, b e sqrt(a^2 - b) sejam
naturais. Vamos a um exemplo de reducao de radicais duplos em radicais
simples em que a, b e sqrt(a^2 - b) sao racionais nao inteiros.
No radical duplo sqrt(5/3 + sqrt(7/3)), temos a = 5/3, b = 7/3 e sqrt(a^2 -
b) = sqrt[(5/3)^2 - 7/3] = sqrt(25/9 - 7/3) = sqrt[(25 - 21)/9] = sqrt(4/9)
= 2/3.
Sendo assim, podemos converter o radical duplo para radical simples, como
segue:
sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt[(5/3 + 2/3) / 2] + sqrt[(5/3 - 2/3) / 2]
sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt(7/6) + sqrt(1/2)


De qualquer modo, eu agradeco pela sua atencao.

Abracos,

Rogério Moraes de Carvalho



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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