Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Apr 07, 2004 at 03:27:00AM -0300, Rafael wrote:
> Perdoe-me, Nicolau, por não ter respondido tão imediatamente à sua mensagem.
> Muito obrigado pelos seus comentários e, agora, pelos do Gugu e do Angelo.
> 
> Talvez, a minha falta de perícia no assunto tenha me feito compreender algo
> errado do que li, mas pode ser que o autor não tenha sido tão feliz na
> explicação como vocês foram.
> 
> Vejam:
> 
> http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/zerozero/zero.htm

Sem poder dizer que alguma coisa na página que você indicou esteja
propriamente errada, eu francamente não acho que o autor tenha sido,
como você disse, muito feliz. Ele menciona (corretamente) que se

lim_{x -> a} f(x) = 0
lim_{x -> a} g(x) = 0

então nada podemos afirmar sobre o limite

lim_{x -> a} (f(x))^(g(x)) 

Mas isto não significa que 0^0 não esteja definido, conforme já discutimos,
e eu acho que o texto gera uma certa confusão neste sentido.

Quanto ao resultado que o Gugu enunciou, segue um enunciado e uma demonstração.

Sejam f e g funções analíticas definidas em vizinhanças de raio r de 0
com f(0) = g(0) = 0. Suponha que f(x) > 0 para 0 < x < r.
Para 0 < x < r, defina h(x) = f(x)^g(x) = exp(g(x) log(f(x))).
A função f admite uma série de Taylor, donde existe um natural n
e constantes positivas C1 e C2 tais que 0 < x < r -> C1 x^n < f(x) < C2 x^n.
Assim 0 < x < r -> a1 + n log(x) < log(f(x)) < a2 + n log(x) onde ai = log(Ci).
Em particular, existe a tal que 0 < x < r -> |log(f(x))| < a + n |log(x)|. 
Por outro lado como g é analítica, existe uma constante positiva B
tal que 0 < x < r -> |g(x)| < B |x|. Assim, para 0 < x < r temos
 |g(x) log(f(x))| < aB |x| + nB |x| |log(x)|
Como lim_{x -> 0} x log(x) = 0, segue que
lim_{x -> 0} g(x) log(f(x)) = 0 donde lim_{x->0} h(x) = 1.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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