Re: [obm-l] algumas duvidas de PA

["Qwert Smith" <lord_qwert@xxxxxxxxxxx>]

So vou adicionar meus 2 centavos ja que ja esta resolvido... concordo com o 
Rafael que o problema 3 e o mais (unico remotamente?) interessante, mas acho 
interessante justamente pq nao precisa de todos os calculos

PA1 razao 3 tamanho 100
PA2 razao 4 tamanho 100

Sabemos que o primeiro termo comum e o 3o termo ( nao importa se e 11, 100, 
coelinho da pascoa, etc)
O Rafael conclui com razao (trocadilho, por favor), que os termos comuns tem 
12 como razao entre eles.  Isso acontece a cada 3 termos na PA2 e a cada 4 
termos na PA1... hmmm...perai
na PA1 tenho tenho mais 97 termos... mas como so interessa de 4 em 4 so me 
interessam 24 (parte inteira 97/4).  Tenho entao 24 termos + o 3o temo ki ja 
sabiamos ser comum.  24 + 1 = 25.
Nao precisa identificar nenhum dos termos.  Isso ki eu achei interessante.

P.S.  Logicamente o '11' e importante na determinacao das razoes das 2 PAs.


>From: "Rafael" <cyberhelp@bol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "OBM-L" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] algumas duvidas de PA
>Date: Wed, 7 Apr 2004 09:19:59 -0300
>
>Guilherme,
>
>Para o problema 1, observe que os extremos do intervalo 100 e 1000 não são
>múltiplos de 11. Mas quais serão os mais próximos?
>
>11*9 = 99, que não pertence ao intervalo
>11*10 = 110, que pertence no intervalo
>
>Então, já sabemos que o primeiro múltiplo de 11 no intervalo é 110.
>
>Analogamente:
>
>11*90 = 990, que pertence no intervalo
>11*91 = 1001, que não pertence ao intervalo
>
>Pronto, montamos a nossa seqüência:
>
>110, ..., 990
>
>Se 110 é o primeiro termo, qual é a posição de 990?
>
>990 = 110 + (n-1)*11 ==> n = 81
>
>Assim, a_81 = 990 e a P.A. tem 81 termos, isto é, há 81 múltiplos de 11
>entre 100 e 1000.
>
>
>Sobre o problema 2, vamos passar para o "matematiquês":
>
>a_1 + a_2 = 5
>a_9 + a_10 = 53
>
>Para que se possa definir bem um termo de P.A. ou de P.G., de que 
>precisamos
>saber? Certamente, o primeiro termo e a razão. Então, reescreveremos as
>equações anteriores em função deles:
>
>a_1 + a_1 + r = 5
>a_1 + 8r + a_1 + 9r = 53
>
>Ou ainda,
>
>2a_1 + r = 5     (I)
>2a_1 + 17r = 53    (II)
>
>Como queremos saber apenas a razão, eliminamos 2a1, assim:
>
>(II) - (I): 17r - r = 53 - 5 ==> 16r = 48 ==> r = 3
>
>
>O terceiro problema é o mais interessante dos três. Vamos escrever as
>seqüências e calcular o último termo de ambas:
>
>5, 8, 11, ..., 302    (302 = 5 + 99*3)
>
>3, 7, 11, ..., 399    (399 = 3 + 99*4)
>
>Já sabemos que ambas possuem igualmente o terceiro termo, 11, e que a
>segunda seqüência cresce mais rapidamente que a primeira após o terceiro
>termo. Assim, vamos procurar qual é o termo da segunda seqüência mais
>próximo do último da primeira:
>
>302 = 3 + (n-1)*4 ==> n = 75,75
>
>Vemos que o termo mais próximo é o septuagésimo quinto. Vamos calculá-lo:
>
>a_75 = 3 + 74*4 = 299
>
>Não deve ser por acaso que o nonagésimo nono termo da primeira seqüência é
>299 também, pois 302 - 3 = 299. Assim, já encontramos o primeiro e o último
>termos que são iguais para ambas seqüências:
>
>11, ..., 299
>
>Agora, vamos pensar:
>
>a_n = 5 + (n - 1)*3  <==>  a_n - 5 = (n - 3)*3
>
>b_n = 3 + (n - 1)*4  <==> b_n - 3 = (n - 1)*4.
>
>Generalizando,
>
>x_m = x_n + (m - n)*r  <==> x_m - x_n = (m - n)*r
>
>Se ainda não parecer claro o que estou pretendendo, lá vai: a diferença
>entre dois termos de uma P.A. é um múltiplo da razão; para que os termos 
>das
>seqüências se "encontrem" (sejam iguais), eles devem ser múltiplos de uma
>mesma razão, no nosso caso, 3 e 4. Humm... múltiplos de um mesmo número...
>múltiplo comum! Sim, é isso! Tudo se passa como se dentro da nossa última
>seqüência (11, ..., 299) tivéssemos "despejado" uma seqüência de razão 12,
>pois mmc(3,4) = 12. Agora, fica fácil. Qual é a posição do último termo 
>299?
>
>299 = 11 + (n - 1)*12 ==> n = 288/12 + 1 = 25
>
>Logo, 25 termos são iguais para as duas seqüências.
>
>Quais são eles?
>
>11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119,
>131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239,
>251, 263, 275, 287, 299
>
>
>Tudo bem, o Mathematica deu uma mãozinha... ;-D
>
>
>Abraços,
>
>Rafael de A. Sampaio
>
>
>
>
>
>----- Original Message -----
>From: Guilherme Teles
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Sent: Tuesday, April 06, 2004 10:48 PM
>Subject: [obm-l] algumas duvidas de PA
>
>
>1 - Quantos multiplos de 11 existem entre 100 e 1000
>
>2 - Determine a razão de uma PA com dez termos, sabendo que a soma dos dois
>primeiros é 5 e a soma dos dois ultimos é 53
>
>3 - As progressões aritmeticas 5, 8, 11, .... e 3, 7, 11, .... tem 100
>numeros cada uma. Determine o numero de termos iguais nas duas progressões
>
>
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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