Re: [obm-l] algumas duvidas de PA

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Guilherme,

Para o problema 1, observe que os extremos do intervalo 100 e 1000 não são
múltiplos de 11. Mas quais serão os mais próximos?

11*9 = 99, que não pertence ao intervalo
11*10 = 110, que pertence no intervalo

Então, já sabemos que o primeiro múltiplo de 11 no intervalo é 110.

Analogamente:

11*90 = 990, que pertence no intervalo
11*91 = 1001, que não pertence ao intervalo

Pronto, montamos a nossa seqüência:

110, ..., 990

Se 110 é o primeiro termo, qual é a posição de 990?

990 = 110 + (n-1)*11 ==> n = 81

Assim, a_81 = 990 e a P.A. tem 81 termos, isto é, há 81 múltiplos de 11
entre 100 e 1000.


Sobre o problema 2, vamos passar para o "matematiquês":

a_1 + a_2 = 5
a_9 + a_10 = 53

Para que se possa definir bem um termo de P.A. ou de P.G., de que precisamos
saber? Certamente, o primeiro termo e a razão. Então, reescreveremos as
equações anteriores em função deles:

a_1 + a_1 + r = 5
a_1 + 8r + a_1 + 9r = 53

Ou ainda,

2a_1 + r = 5     (I)
2a_1 + 17r = 53    (II)

Como queremos saber apenas a razão, eliminamos 2a1, assim:

(II) - (I): 17r - r = 53 - 5 ==> 16r = 48 ==> r = 3


O terceiro problema é o mais interessante dos três. Vamos escrever as
seqüências e calcular o último termo de ambas:

5, 8, 11, ..., 302    (302 = 5 + 99*3)

3, 7, 11, ..., 399    (399 = 3 + 99*4)

Já sabemos que ambas possuem igualmente o terceiro termo, 11, e que a
segunda seqüência cresce mais rapidamente que a primeira após o terceiro
termo. Assim, vamos procurar qual é o termo da segunda seqüência mais
próximo do último da primeira:

302 = 3 + (n-1)*4 ==> n = 75,75

Vemos que o termo mais próximo é o septuagésimo quinto. Vamos calculá-lo:

a_75 = 3 + 74*4 = 299

Não deve ser por acaso que o nonagésimo nono termo da primeira seqüência é
299 também, pois 302 - 3 = 299. Assim, já encontramos o primeiro e o último
termos que são iguais para ambas seqüências:

11, ..., 299

Agora, vamos pensar:

a_n = 5 + (n - 1)*3  <==>  a_n - 5 = (n - 3)*3

b_n = 3 + (n - 1)*4  <==> b_n - 3 = (n - 1)*4.

Generalizando,

x_m = x_n + (m - n)*r  <==> x_m - x_n = (m - n)*r

Se ainda não parecer claro o que estou pretendendo, lá vai: a diferença
entre dois termos de uma P.A. é um múltiplo da razão; para que os termos das
seqüências se "encontrem" (sejam iguais), eles devem ser múltiplos de uma
mesma razão, no nosso caso, 3 e 4. Humm... múltiplos de um mesmo número...
múltiplo comum! Sim, é isso! Tudo se passa como se dentro da nossa última
seqüência (11, ..., 299) tivéssemos "despejado" uma seqüência de razão 12,
pois mmc(3,4) = 12. Agora, fica fácil. Qual é a posição do último termo 299?

299 = 11 + (n - 1)*12 ==> n = 288/12 + 1 = 25

Logo, 25 termos são iguais para as duas seqüências.

Quais são eles?

11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119,
131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239,
251, 263, 275, 287, 299


Tudo bem, o Mathematica deu uma mãozinha... ;-D


Abraços,

Rafael de A. Sampaio





----- Original Message -----
From: Guilherme Teles
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, April 06, 2004 10:48 PM
Subject: [obm-l] algumas duvidas de PA


1 - Quantos multiplos de 11 existem entre 100 e 1000

2 - Determine a razão de uma PA com dez termos, sabendo que a soma dos dois
primeiros é 5 e a soma dos dois ultimos é 53

3 - As progressões aritmeticas 5, 8, 11, .... e 3, 7, 11, .... tem 100
numeros cada uma. Determine o numero de termos iguais nas duas progressões




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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