Re: [obm-l] fun ção contínua em espaços métricos

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Nesse problema hah um detalhe que me passou
despercebido na primeira leitura. Num eh afirmado que
f eh continua em todo o espaco M, mas apenas no ponto
a. Mas a conclusao, ainda assim, permanece valida.
Consideremos as bolas A1 e A2, jah citadas. Como a
unica hipotese eh a continuidade de f apenas em a,
naum podemos afirmar que suas imagens inversas sob f
sejam abertas. Mas podemos afirmar que existem bolas
abertas B1 e B2, centradas em a, tais que f(x)
pertence a A1, para x em B1, e f(x) pertence a A2,
para x em B2. Tomando-se a bola aberta de centro em a 
B = B1 inter B2 e prosseguindo-se conforme abaixo,
chegamos aa conclusao desejada. 

Isto eh consequencia de uma conclusao interessante: f
eh continua em um ponto a de M se, e somente se, para
toda vizinhanca V de f(a), a for ponto interior de
f^(-1)(V). Esta conclusao, assim como a do problema,
permanecem validas se M for um espaco topologico
qualquer e N for um espaco de Hausdorff. Basta
substituir o termo bola aberta por vizinhanca.
Artur

--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> on 01.04.04 20:24, bruno souza at
> bruno9812000@yahoo.com.br wrote:
> 
> Demonstrar
> 
> Sejam M,N espaços métricos, f,g:M-->N contínuas no
> ponto a pertecente a M.
> Se f(a) diferente de g(a), então existe uma bola
> aberta B, de centro a, tal
> que f(B) e g(B) sejam disjuntos.
> 
> Abraços
> 
> Bruno
> 
> 
> Como f eh continua, a imagem inversa de um conjunto
> aberto de N por f eh um
> conjunto aberto de M. Idem para g.
> 
> Seja d a distancia entre f(a) e g(a).
> Tome as bolas abertas A1 e A2 de centro em f(a) e
> g(a), respectivamente,
> ambas com raio d/2. Isso quer dizer que A1 e A2 sao
> conjuntos abertos e
> disjuntos.
> 
> Sejam B1 e B2 as imagens inversas de A1 e A2 por f e
> g, respectivamente.
> Como a pertence a B1 e tambem a B2, a pertence a B1
> inter B2.
> 
> Pela continuidade de f e g, B1 e B2 serao conjuntos
> abertos.
> Logo, B1 inter B2 tambem serah aberto.
> Agora eh soh tomar uma bola aberta B de centro em a
> e contida em B1 inter
> B2, que existe porque B1 inter B2 eh aberto.
> 
> f(B) estah contido em A1 e g(B) estah contido em A2.
> Como A1 e A2 sao disjuntos, f(B) e g(B) tambem
> serao.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
> 
> 


__________________________________
Do you Yahoo!?
Yahoo! Small Business $15K Web Design Giveaway 
http://promotions.yahoo.com/design_giveaway/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================