Re: [obm-l] Re: [obm-l] POLINOMIO

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Aqui vai a dica:

Se p(x) eh redutivel sobre Q, entao, pelo lema de Gauss, existem f(x) e
g(x), ambos nao constantes, de coeficientes inteiros, e tais que p(x) =
f(x)*g(x).

Eh claro que grau(p) = grau(f) + grau(g) = 2n.

Como p(x) eh sempre positivo, f e g devem ter o mesmo sinal, que podemos
supor s.p.d.g. que eh positivo.

Como p(a_1) = p(a_2) = ... = p(a_n) = 1, temos que:
f(a_1)*g(a_1) = ... = f(a_n)*g(a_n) = 1

Pergunta: O que podemos dizer sobre os graus de f(x) e g(x)?


[]s,
Claudio.


on 02.04.04 10:41, peterdirichlet2002@zipmail.com.br at
peterdirichlet2002@zipmail.com.br wrote:

> p(x)-1=((x-x_1)(x-x_2))^2 so por enquanto.t_i sao complexos.
> k*(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)(x-t_4)=1+((x-x_1)(x-x_2))^2
> Bem, ai e so usar um pouco de Teoria dos Numeros.Talvez eu feche em casa...
> 
> 
> 
> -- Mensagem original --
> 
>> Oi, pessoal:
>> 
>> A solução que o Ricardo deu pra esse problema do polinômio me fez lembrar
>> de um outro, talvez um pouco mais difícil, mas cuja solução usa a mesma
> idéia
>> (que aliás, ele não explicitou em sua solução - 5 pontos determinam um
> polinômio
>> de 5o. grau a menos de uma constante multiplicativa. Foi isso que ele usou
>> quando escreveu:
> 
>> P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Obviamente, isso vale pra polinômios
>> de qualquer grau).
>> 
>> O problema é o seguinte:
>> 
>> Sejam a_1, a_2, ..., a_n inteiros distintos dois a dois.
>> Prove que o polinômio:
>> p(x) = (x - a_1)^2*(x - a_2)^2*...*(x - a_n)^2 + 1
>> é irredutível sobre os inteiros (e, portanto, sobre os racionais).
>> 
>> Se ninguém conseguir, daqui a alguns dias eu dou uma dica.
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> 
>> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>> 
>> Cópia:
>> 
>> Data:Thu, 25 Mar 2004 20:28:06 -0300
>> 
>> Assunto:Re: [obm-l] POLINOMIO
>> 
>> 
>> 
>>> Warley wrote:
>>> 
>>>> Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições
>>>> 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos:
>>>> 
>>>> a)P(0)=4
>>>> b)P(0)=3
>>>> c)P(0)=9
>>>> d)P(0)=2
>>>> e)nra
>>> 
>>> Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator
>>> de P(x)-1. Logo,
>>> 
>>> P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
>>> 
> 
>>> Onde k é uma constante real.
>>> 
>>> Se P(6)=0, então
>>> P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)
>>> -1=k.5!
>>> k=-1/120
>>> 
>>> Logo,
>>> P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120
>>> e portanto
>>> P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2
>>> P(0)=2
>>> 
>>> e resposta é (d)
>>> 
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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