[obm-l] Re: [obm-l] POLINOMIO

[peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxxxx]

p(x)-1=((x-x_1)(x-x_2))^2 so por enquanto.t_i sao complexos.
k*(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)(x-t_4)=1+((x-x_1)(x-x_2))^2
Bem, ai e so usar um pouco de Teoria dos Numeros.Talvez eu feche em casa...



-- Mensagem original --

>Oi, pessoal:
>
>A solução que o Ricardo deu pra esse problema do polinômio me fez lembrar
>de um outro, talvez um pouco mais difícil, mas cuja solução usa a mesma
idéia
>(que aliás, ele não explicitou em sua solução - 5 pontos determinam um
polinômio
>de 5o. grau a menos de uma constante multiplicativa. Foi isso que ele usou
>quando escreveu:

>P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Obviamente, isso vale pra polinômios
>de qualquer grau).
>
>O problema é o seguinte:
>
>Sejam a_1, a_2, ..., a_n inteiros distintos dois a dois.
>Prove que o polinômio:
>p(x) = (x - a_1)^2*(x - a_2)^2*...*(x - a_n)^2 + 1
>é irredutível sobre os inteiros (e, portanto, sobre os racionais).
>
>Se ninguém conseguir, daqui a alguns dias eu dou uma dica.
>
>[]s,
>Claudio.
>
>De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Cópia:
>
>Data:Thu, 25 Mar 2004 20:28:06 -0300
>
>Assunto:Re: [obm-l] POLINOMIO
>
>
>
>> Warley wrote:
>>
>> > Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições
>> > 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos:
>> >
>> > a)P(0)=4
>> > b)P(0)=3
>> > c)P(0)=9
>> > d)P(0)=2
>> > e)nra
>>
>> Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator
>> de P(x)-1. Logo,
>>
>> P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
>> 

>> Onde k é uma constante real.
>>
>> Se P(6)=0, então
>> P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)
>> -1=k.5!
>> k=-1/120
>>
>> Logo,
>> P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120
>> e portanto
>> P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2
>> P(0)=2
>>
>> e resposta é (d)
>> 

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