Re: [obm-l] função contínua em espaços métricos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] função contínua em espaços métricos

on 01.04.04 20:24, bruno souza at bruno9812000@yahoo.com.br wrote:

> Demonstrar
>  
> Sejam M,N espaços métricos, f,g:M-->N contínuas no ponto a pertecente a M. Se f(a) diferente de g(a), então existe uma bola aberta B, de centro a, tal que f(B) e g(B) sejam disjuntos.
>  
> Abraços
>  
> Bruno
>
>
> Como f eh continua, a imagem inversa de um conjunto aberto de N por f eh um conjunto aberto de M. Idem para g.
>
> Seja d a distancia entre f(a) e g(a). 
> Tome as bolas abertas A1 e A2 de centro em f(a) e g(a), respectivamente, ambas com raio d/2. Isso quer dizer que A1 e A2 sao conjuntos abertos e disjuntos.
>
> Sejam B1 e B2 as imagens inversas de A1 e A2 por f e g, respectivamente.
> Como a pertence a B1 e tambem a B2, a pertence a B1 inter B2.
>
> Pela continuidade de f e g, B1 e B2 serao conjuntos abertos.
> Logo, B1 inter B2 tambem serah aberto.
> Agora eh soh tomar uma bola aberta B de centro em a e contida em B1 inter B2, que existe porque B1 inter B2 eh aberto.
>
> f(B) estah contido em A1 e g(B) estah contido em A2.
> Como A1 e A2 sao disjuntos, f(B) e g(B) tambem serao.
>
> []s,
> Claudio.