Res: Re: Res: [obm-l] Pentagono regular

Veio, sempre que suas ideias geniais acabarem, use trigonometria.Mas ja que ce ta feliz com isso desconsidere meus comentarios...

Guilherme Pimentel <guigousrj@globo.com> wrote:

Grande Claudio,

eu realmente não tinha pensado em usar Ptolomeu, valeu...

-------Mensagem original-------

De: obm-l@mat.puc-rio.br

Data: 03/14/04 02:42:36

Para: obm-l@mat.puc-rio.br

Assunto: [obm-l] Pentagono regular

on 13.03.04 22:30, Guilherme Pimentel at guigousrj@globo.com wrote:

ABCDE é um pentágono regular inscrito numa circunferência e M é um ponto qualquer do arco AE. Demonstrar que MB+MD=MA+MC+ME

Esse sai por aplicacoes sucessivas do teorema de Ptolomeu:
no quadrilatero MACD ==> MC*DA = MA*CD + MD*AC
no quadrilatero MBCD ==> MC*BD = MB*CD + MD*BC
no quadrilatero MCDE ==> MD*CE = ME*CD + MC*DE
no quadrilatero ABCD ==> AC*BD = AB*CD + DA*BC

Agora, repare que:
AB = BC = CD = DE = a = lado do pentagono
e
AC = BD = CE = DA = b = diagonal do pentagono.

Logo, teremos:
MC*b = MA*a + MD*b
MC*b = MB*a + MD*a
MD*b = ME*a + MC*a
b*b = a*a + b*a ==> b = a*Phi, onde Phi = (1+raiz(5))/2

Substituindo nas tres outras equacoes, teremos:
MC*Phi = MA + MD*Phi   (1)
MC*Phi = MB + MD          (2)
MD*Phi = ME + MC          (3)

(3) em (1) ==> MC*Phi = MA + MC + ME    (4)

(2) em (4) ==> MB + MD = MA + MC + ME e acabou...

[]s,
Claudio.

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