on 14.03.04 01:36, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:
on 13.03.04 22:30, Guilherme Pimentel at guigousrj@globo.com wrote:
ABCDE é um pentágono regular inscrito numa circunferência e M é um ponto qualquer do arco AE. Demonstrar que MB+MD=MA+MC+ME
Tambem descobri uma solucao usando complexos.
Suponha que o circulo eh unitario e centrado na origem e que os vertices sao:
A = 1, B = w^2, C = w^4, D = w^6 e E = w^8, onde w = exp(i*Pi/5).
Faca M = z e observe que:
(1) z - 1 = (MA/MA)*(z - 1)
(2) z - w^2 = (MB/MA)*(z - 1)*w
(3) z - w^4 = (MC/MA)*(z - 1)*w^2
(4) z - w^6 = (MD/MA)*(z - 1)*w^3
(5) z - w^8 = (ME/MA)*(z - 1)*w^4
Em seguida, elimine o fator w^k do lado direito de cada equacao, levando em conta que w^10 = 1 <==> w^(-1) = w^9 <==> w^(-2) = w^8 <==> etc.
Finalmente, some as equacoes 1, 3 e 5 e subtraia delas as equacoes 2 e 4.
Um pouquinho de algebra e voce chega lah...
[]s,
Claudio.
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