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Grande Claudio,
eu realmente não tinha pensado em usar Ptolomeu, valeu...
-------Mensagem original-------
Data: 03/14/04 02:42:36
Assunto: [obm-l] Pentagono regular
on 13.03.04 22:30, Guilherme Pimentel at guigousrj@globo.com wrote:
ABCDE é um pentágono regular inscrito numa circunferência e M é um ponto qualquer do arco AE. Demonstrar que MB+MD=MA+MC+ME
Esse sai por aplicacoes sucessivas do teorema de Ptolomeu:
no quadrilatero MACD ==> MC*DA = MA*CD + MD*AC
no quadrilatero MBCD ==> MC*BD = MB*CD + MD*BC
no quadrilatero MCDE ==> MD*CE = ME*CD + MC*DE
no quadrilatero ABCD ==> AC*BD = AB*CD + DA*BC
Agora, repare que:
AB = BC = CD = DE = a = lado do pentagono
e
AC = BD = CE = DA = b = diagonal do pentagono.
Logo, teremos:
MC*b = MA*a + MD*b
MC*b = MB*a + MD*a
MD*b = ME*a + MC*a
b*b = a*a + b*a ==> b = a*Phi, onde Phi = (1+raiz(5))/2
Substituindo nas tres outras equacoes, teremos:
MC*Phi = MA + MD*Phi (1)
MC*Phi = MB + MD (2)
MD*Phi = ME + MC
(3)
(3) em (1) ==> MC*Phi = MA + MC + ME (4)
(2) em (4) ==> MB + MD = MA + MC + ME e acabou...
[]s,
Claudio.
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