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Grande Claudio,
eu realmente não tinha pensado em usar Ptolomeu, valeu...
-------Mensagem original-------
ABCDE é um pentágono regular inscrito numa circunferência e M é um ponto qualquer do arco AE. Demonstrar que MB+MD=MA+MC+ME Esse sai por aplicacoes sucessivas do teorema de Ptolomeu: no quadrilatero MACD ==> MC*DA = MA*CD + MD*AC no quadrilatero MBCD ==> MC*BD = MB*CD + MD*BC no quadrilatero MCDE ==> MD*CE = ME*CD + MC*DE no quadrilatero ABCD ==> AC*BD = AB*CD + DA*BC Agora, repare que: AB = BC = CD = DE = a = lado do pentagono e AC = BD = CE = DA = b = diagonal do pentagono. Logo, teremos: MC*b = MA*a + MD*b MC*b = MB*a + MD*a MD*b = ME*a + MC*a b*b = a*a + b*a ==> b = a*Phi, onde Phi = (1+raiz(5))/2 Substituindo nas tres outras equacoes, teremos: MC*Phi = MA + MD*Phi (1) MC*Phi = MB + MD (2) MD*Phi = ME + MC (3) (3) em (1) ==> MC*Phi = MA + MC + ME (4) (2) em (4) ==> MB + MD = MA + MC + ME e acabou... []s, Claudio. | |||
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