Re: [obm-l] distancia entre conjuntos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 04.03.04 15:31, Artur Costa Steiner at artur_steiner@yahoo.com wrote:

> Este problema, eu acho bonitinho:
> 
> Em um espaco metrico com metrica d, definamos a
> distancia entre dois conjuntos A e B por d(A,B) =
> inf{d(a,b) | a pertence a A, b pertence a B}. Mostre
> que se A for compacto e B for fechado, entao d(A,B)>0.
> 
> Se, entretanto, fizermos a hipotese mais fraca de que
> A seja apenas fechado, entao a proposicao torna-se
> falsa.
> 
> Artur
> 
Oi, Artur:

Supondo tambem que A e B sao disjuntos, aqui vai minha tentativa:

Como A eh limitado, tome uma bola fechada X que contem A.
Entao, B* = B inter X serah um conjunto compacto e tal que dist(A,B) =
dist(A,B*).

Suponhamos que dist(A,B*) = 0.

Entao, existirao uma sequencia (a_n) de pontos de A e uma sequencia (b_n) de
pontos de B* tais que lim dist(a_n,b_n) = 0.

Como A e B* sao limitados, tanto (a_n) quanto (b_n) possuirao subsequencias
convergentes. Assim, podemos supor s.p.d.g. que (a_n) e (b_n) sao
convergentes. 

Sejam a = lim a_n e b = lim b_n.
Mas lim dist(a_n,b_n) = dist(lim a_n, lim b_n) = dist(a,b) = 0 <==> a = b

*** Eu nao manjo nada de topologia. Assim, nesse ponto estou fazendo uma
analogia com sequencias na reta:
se a_n -> a, b_n -> b e |a_n - b_n| -> 0, entao a = b, pois podemos escrever
|a - b| = |a - a_n + a_n - b_n + b_n - b| <=
|a - a_n| + |a_n - b_n| + |b_n - b| < eps/3 + eps/3 + eps/3 = eps ==>
|a - b| = 0 ==> a = b
***

Como A e B* sao fechados, a pertence a A e b pertence a B ==>
a = b pertence a A inter B* ==>
contradicao, pois A e B* sao disjuntos ==>
dist(A,B*) > 0.

O que lhe parece?

Um abraco,
Claudio.

 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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