Re: [obm-l] distancia entre conjuntos

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Oi Cláudio,
A sua idéia foi de fato muito interessante. Acho que 
soh precisa modificar alguns pontos, para adapta-la a
espacos metricos gerais. No caso de espacos
Euclidianos, acho que estah perfeita.

> 
> Supondo tambem que A e B sao disjuntos, aqui vai
> minha tentativa:
> 
> Como A eh limitado, tome uma bola fechada X que
> contem A.
> Entao, B* = B inter X serah um conjunto compacto e
> tal que dist(A,B) =
> dist(A,B*).
Supondo-se B* nao vazio certo?

Aqui hah um detalhe sutil. No caso de espacos metricos
gerais, nao podemos afirmar que bolas fechadas sejam
sempre compactas. Logo, naum podemos afirmar que B*
seja compacto. 

 
> Suponhamos que dist(A,B*) = 0.
> 
> Entao, existirao uma sequencia (a_n) de pontos de A
> e uma sequencia (b_n) de
> pontos de B* tais que lim dist(a_n,b_n) = 0.
> 
> Como A e B* sao limitados, tanto (a_n) quanto (b_n)
> possuirao subsequencias
> convergentes. Assim, podemos supor s.p.d.g. que
> (a_n) e (b_n) sao
> convergentes.
Bem, em espacos metricos gerais isto naum eh verdade.
Eh verdade em espacos metrico compactos e em
subconjuntos compactos de espacos metricos gerais, mas
naum podemos garantir que B* seja compacto.
 
> 
> Sejam a = lim a_n e b = lim b_n.
> Mas lim dist(a_n,b_n) = dist(lim a_n, lim b_n) =
> dist(a,b) = 0 <==> a = b
> 
> *** Eu nao manjo nada de topologia.
?????? Afirmacao FALSA

 Assim, nesse
> ponto estou fazendo uma
> analogia com sequencias na reta:
> se a_n -> a, b_n -> b e |a_n - b_n| -> 0, entao a =
> b, pois podemos escrever
> |a - b| = |a - a_n + a_n - b_n + b_n - b| <=
> |a - a_n| + |a_n - b_n| + |b_n - b| < eps/3 + eps/3
> + eps/3 = eps ==>
> |a - b| = 0 ==> a = b
> ***
Esta analogia de fato adapta-se "verbatim" a espacos
metricos gerais , bastando substituir || pela funcao
distancia d do espaco metrico. 
> 
> Como A e B* sao fechados, a pertence a A e b
> pertence a B ==>
> a = b pertence a A inter B* ==>
> contradicao, pois A e B* sao disjuntos ==>
> dist(A,B*) > 0.
> 
> O que lhe parece?
Acho que com um pouco mais de detalhes esta ideia pode
funcionar. Naum pude aprofundar agora. Mais tarde
mando a solucao que eu encontrei.
Artur

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