[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Conjuntos não-enumerá veis vs. densos

[Pedro Antonio Santoro Salomao <ssalomao@xxxxxxxxxx>]

Artur Costa Steiner wrote:

>oi Arthur,
>
>Existem mais possibilidades para o conjunto S se ele nao contiver um
>subconjunto denso.
>E' aquele mesmo exemplo onde S={0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ....}. Esse
>conjunto nao tem nenhum subconjunto denso, mas elemento 0 nao esta isolado.
>
>Sem duvida. E o conjunto {0,1,1/2, ...1/n....} tambem. Eu interpretei
>eradamente o enunciado, depois eh que me dei conta. .
>
>Mas se S for fechado, eu acho que dah para provar. Segundo o teorema de
>Cantor Bendixon, S eh entao dado pela uniao de um conjunto numeravel com um
>conjunto perfeito P. Como S nao eh numeravel, P nao eh vazio e nao eh
>numeravel (na reta real, conjuntos perfeitos nao sao numeraveis). Como todo
>elemento de P eh ponto de acumulacao de P, segue-se que, se x e y estao em P
>e x<y, entao existe em P algum z tal que x<z<y. 
>
x e y, sendo de acumulacao, talvez fossem acumulados por pontos externos 
ao intervalo [x,y]. E isso nao garantiria o z entre x e y. Talvez agum 
detalhe a mais conserte isso.
Eu esbocei uma demonstracao desse resultado mas e' bem diferente da sua.
Outra coisa interessante. Segundo essa definicao de conjunto denso, 
alguns conjuntos densos tem um aspecto meio estranho. Por exemplo: S = 
[0,1) uniao {2} e' denso. Isso vai contra aquela intuicao de que todos 
os pontos deveriam ser de acumulacao.

Pedro.

>Logo, P eh denso e S contem
>um subconjunto denso.
>Como consequencia, segue-se que, se S nao for numeravel, entao o fecho de S
>contem um subconjunto denso. Nao estou certo se daih dah para extender a
>conclusao.
>Artur  
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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