[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Conjuntos não-enumerá veis vs. densos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

oi Arthur,

Existem mais possibilidades para o conjunto S se ele nao contiver um
subconjunto denso.
E' aquele mesmo exemplo onde S={0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ....}. Esse
conjunto nao tem nenhum subconjunto denso, mas elemento 0 nao esta isolado.

Sem duvida. E o conjunto {0,1,1/2, ...1/n....} tambem. Eu interpretei
eradamente o enunciado, depois eh que me dei conta. .

Mas se S for fechado, eu acho que dah para provar. Segundo o teorema de
Cantor Bendixon, S eh entao dado pela uniao de um conjunto numeravel com um
conjunto perfeito P. Como S nao eh numeravel, P nao eh vazio e nao eh
numeravel (na reta real, conjuntos perfeitos nao sao numeraveis). Como todo
elemento de P eh ponto de acumulacao de P, segue-se que, se x e y estao em P
e x<y, entao existe em P algum z tal que x<z<y. Logo, P eh denso e S contem
um subconjunto denso.
Como consequencia, segue-se que, se S nao for numeravel, entao o fecho de S
contem um subconjunto denso. Nao estou certo se daih dah para extender a
conclusao.
Artur  


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