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Re: [obm-l] GMAT e serie do Duda
Bom, eu tive uma outra idéia.
CONJECTURA. Se x(n) é eqüidistribuída em [0, 1] então existe algum n e um k
<= n para o qual x(k) >= 1 - 1/n.
Suponhamos que valha esta conjectura. Vamos mostrar que SOMA( x(n)^n )
diverge. Existe um n_1 e um k_1 <= n_1 tal que x(k_1) >= 1 - 1/n_1. Portanto
x(k_1)^k_1 >= x(k_1)^n_1 >= (1 - n_1)^(n_1). Construímos uma outra seqüência
y(n) tal que y(n) = 0 se n <= n_1 e y(n) = x(n) se n > n_1. Como alteremos
somente um número finito de termos de x(n), a seqüência y(n) ainda é
eqüdistribuída. Logo existem n_2 >= k_2 > n_1 tal que x(k_2)^(k_2) >= (1 -
1/n_2)^(n_2). Prosseguimos indutivamente e obtemos duas seqüências n_1 < n_2
< ... e k_1 < k_2 < ... tal que x(k_i) >= (1 - 1/n_i)^n_i. Como (n_i) é uma
seqüência de inteiros crescente, tende ao infinito, logo a partir de um
determinado I temos: i >= I implica (1 - n_i)^(n_i) >= (1/2) e^(-1) pois
lim( (1 - 1/n)^n ) = e^(-1). Segue que SOMA( x(n)^n ) >= SOMA( x(n_i)^(n_i),
i>=I ) >= (1/2) ( e^(-1) + e^(-1) + ... ) = +INFINITO e a série diverge.
Será que vale a conjectura?
Abraço,
Duda.
From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> Oi Cláudio.
>
> Segundo o Imre Lakatos, no seu livro Proofs and Refutations, a matemática
> não possui nada de absoluta e as demonstrações são indicativos da verdade
de
> afirmações assim como nas outras ciências. Repito: não é uma demonstração,
> mas acho que é uma idéia boa para experiências mentais. Você vai
compreender
> depois de ler...
>
> Seja x(n) uma seqüência uniformemente distribuída em [0, 1]. Escolha um n
> inccrivelmente grande. Se olharmos para o conjunto {x(k), k<= n} ele deve
> estar bem "uniformemente distribuído" no intervalo [0, 1]. Uma possível
> interpretação intuitiva deste fato (intuitivo) é que se dividirmos [0, 1]
=
> UNIAO{ I_k, k<=n } com I_k = [(k-1)/n, k/n], deve haver um x destes em
cada
> um dos intervalos I_k. Agora considere um natural m bem menor que n. Dê
uma
> olhada nos últimos m intervalos e faça o conjunto dos K dos k tal que x(k)
> está em [ (n-m)/n, 1]. O conjunto K é um subconjunto de {1, 2, ..., n}.
> Podemos considerar K' = {k/n, k de K}. Me parece natural que esta K' está
> uniformemente distribuído em [0, 1]. Podemos supor, assim como fizemos
> antes, que K' = {1/m, 2/m, ..., 1} e colocar x(n/m) = 1 - m/n, x(2n/m) =
1 -
> (m-1)/n, ..., x(n) = 1. Então x(kn/m) = 1 - (m-k)/n e x(kn/m)^(kn/m) =
[1 -
> (m-k)/n] ^ (kn/m) =~ e^[ (-1+k/m)k ], dado que o n é muito grande. Na
> verdade, se somar todos esses caras, se somar todos esses caras a série
não
> diverge, que era o que eu estava esperando.
>
> Mas quem sabe uma modificação deste método possa obter divergência...
>
> Êta mensagem não-matemática esta!
>
> Abraço,
> Duda.
>
>
>
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> > Oi, Gugu:
> >
> > A parte de matematica do GMAT nao eh especialmente dificil mas tem um
tipo
> > de questao de multipla escolha que eu acho interessante.
> > Por exemplo:
> > Considere um triangulo ABC. Que fatos relativos a esse triangulo
permitem
> > que se determine a altura relativa ao lado BC?
> > (A) as medidas de BC, AC e do angulo BAC
> > (B) a medida de AB, a area de ABC e o seno de BAC
> > (C) as medidas de AB, AC e o seno de BAC
> > (D) as medidas de AB, AC e BC
> > (E) n.d.a.
> >
> > ****
> >
> > No mais, voce chegou a olhar a serie do Duda?
> > SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
> >
> > Eu nao consigo nem dizer se a sequencia x(n) = sen(n)^n converge...
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.
> >
> >
> > on 23.10.03 18:33, gugu@impa.br at gugu@impa.br wrote:
> >
> > > Caro Marcos,
> > > Na verdade eu vi a sua mensagem, mas eu nao sei o que e` GMAT... O que
> e`
> > > isso, e` uma especie de concurso ? Nesse caso voce sabe onde se pode
> encontrar
> > > questoes desse GMAT ? Eu acho que o pessoal nao respondeu por
> ignorancia, como
> > > eu...
> > > Abracos,
> > > Gugu
> > >
> > > Quoting Marcos Braga <mabraga@attglobal.net>:
> > >
> > >>
> > >>
> > >> Caramba !! Fui totalmente ignorado , ninguém respondeu ...
> > >>
> > >> Tá bom , não pergunto mais ...:))
> > >>
> > >> Mesmo assim se alguma alma caridosa puder me respoder ficarei muito
> feliz.
> > >>
> > >> Marcos .
> > >>
> > >>
> > >>> X-Sender: brinet.mabraga@pop6.attglobal.net
> > >>> X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Version 5.2.1
> > >>> Date: Wed, 22 Oct 2003 18:20:56 -0200
> > >>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >>> From: Marcos Braga <mabraga@attglobal.net>
> > >>> Subject: [obm-l] GMAT
> > >>> X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by
> > >>> sucuri.mat.puc-rio.br id RAA14433
> > >>> Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
> > >>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >>>
> > >>> Oi Galera ,
> > >>>
> > >>> Sou novo na lista e uma apaixonado por Matemática e Filosofia . Com
> > >>> certeza meu conhecimento de matemática não é tão bom como de vcs, e
> sendo
> > >>> assim prometo não fazer perguntas idiotas . :))
> > >>>
> > >>> Estou para prestar uma prova no estilo GMAT , alguém conhece alguma
> > >>> literatura , em português se possível, com características das
> questões GMAT
> > >> ?
> > >>>
> > >>> Abraços .
> > >>>
> > >>> Marcos .
> > >>>
> > >>>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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