Re: [obm-l] limite de sin(n)^n

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 23.10.03 19:07, Salvador Addas Zanata at sazanata@ime.usp.br wrote:

> 
> Caro Claudio,
> 
> Essa problema eh f...
> 
> 
> Para que sin(n)^n de problema, temos que escolher um n
> tal que
> 
> 
> |n-(pi/2+2pik)| seja pequeno. Isso eh equivalente a:
> 
> 
> |2/pi.n-(1+4k)| seja pequeno. Como 2/pi eh
> irracional, se existirem
> 
> convergentes pn/qn de 2/pi, tais que pn = 1+4kn,
> entao,
> 
> 
> |2/pi.qn-(1+4kn)|<1/qn.
> 
> 
> 
> Aqui vou fazer uma hipotese perigosa, que nao pensei
> se eh verdade. Vamos supor
> que existem infinitos convergentes tais que
> pn == 1 mod 4.
>
> 
> Isto vai implicar, fazendo umas majoracoes chatas, que
> sin(qn) eh aprox. igual a
> (1-c/qn^2), para um c real que nao depende de n.
> 
Oi, Salvado:

Vejamos se eu entendi:
|(2/pi)*qn - pn| < 1/qn ==>
|qn - (pi/2)*pn| < (pi/2)/qn ==>
(pi/2)*pn - (pi/2)/qn < qn < (pi/2)*pn + (pi/2)/qn ==>

E ja que estes 3 numeros sao bem proximos uns dos outros, os seus senos
tambem serao. Mas como pn == 1 (mod 4), os senos dos numeros das
extremidades sao ambos iguais a cos((pi/2)/qn) ~ 1 - (pi^2/8)/qn^2.

Logo, sen(qn) ~ 1 - c/qn^2, onde c eh uma constante que nao depende de n.

> Assim, (sin(qn))^qn ~= (1-c/qn^2)^qn, que me parece
> que vai a 1.
>
Concordo.
 
> Nao conferi todos os passos, muito menos sei se a
> hipotese sobre os convergentes eh
> verdade, mas parece que esse limite nao existe.
>
Realmente, a rigor o argumento acima nao prova nada mas me parece uma bela
evidencia a favor da sua conclusao.

Alias, serah que isso quer dizer que os valores de aderencia de sen^n(n) sao
apenas 1 e 0 (e talvez -1)?

Agora, supondo que esse seja o caso, o que podemos dizer sobre a serie:
SOMA(n>=1) sen^n(n)/n?

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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