Re: [obm-l] OBM-2 e 3 - problema da divisibilidade

[Cesar Ryudi Kawakami <cesarkawakami@xxxxxxxxxx>]

Teoria dos N�meros, certo?

Quem mandou eu fugir das aulas preparat�rias no etapa... que droga.

Muito obrigado... Valeu mesmo, assim j� me preparo pra a do ensino m�dio, 
que provavelmente s� terei chance no 3o. ano...

Um abra�o,

Cesar Ryudi Kawakami

At 21:30 23/10/2003, you wrote:
>"Determine o menor primo positivo que divide x^2 + 5x + 23 para algum
>inteiro x."
>
>----
>
>q(x) = x� + 5x + 23
>
>note que 23 � divisor de q(0)
>em segundo lugar veja que se para um dado x p|q(x), ent�o existe um valor r
>< p tal que p|q(r), basta ver que pelo algoritmo da divis�o temos x = pm + r
>com 0 <= r < p para algum m inteiro, logo
>
>q(x) = q(pm + r) = (pm + r)� + 5(pm + r) + 23 = p�m� + 2pm(r + 5) + r� + 5r
>+ 23
>como p|q(pm + r), p|[p�m� + 2pm(r + 5) + r� + 5r + 23], logo
>p|(r� + 5r + 23), p|q(r)
>
>ent�o voc� vai testar no m�ximo os primeiros 23 valores do polin�mio :-)
>t�, ok, n�o deixa de ser uma tarefa massante, mas d� pra fazer isso
>facilmente
>q(x+1) = (x+1)� + 5(x+1) + 23 = x� + 7x + 29
>q(x+1) - q(x) = 2x + 6
>
>q(0) = 23
>q(1) = 23 + 2.1 + 6 = 31
>q(2) = 31 + 2.2 + 6 = 41
>q(3) = 41 + 2.3 + 6 = 53
>q(4) = 53 + 2.4 + 6 = 67
>...
>se voc� quer ser met�dico, monte uma tabela com os primeiros valores de 2x +
>6 e v� calculando os valores do polin�mio dessa forma (duvido que vc perca
>mais do que 5 minutos pra chegar na solu��o).
>
>n�o sei se respondi seu item (a) satisfatoriamente, mas n�o veio nenhuma
>id�ia de como resolver isso facilmente (resolver os polin�mios mod p n�o �
>muito divertido).
>
>item (b)
>se q(x) = a0 + a1x + a2x� + ... + a[n]x^n � um polin�mio de coef. inteiros
>(se forem racionais, multiplique o pol. por um inteiro que transforme todos
>os coef. em inteiros) ent�o r = u/v � uma raiz racional desse polin�mio
>somente se u divide a0 e v divide a[n].
>
>item (c)
>a lista � para todos os n�veis
>
>
>[ ]'s
>
>=========================================================================
>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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