[obm-l] Conjectura do Duda

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 23.10.03 23:07, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:

> Bom, eu tive uma outra idéia.
> 
> CONJECTURA. Se x(n) é eqüidistribuída em [0, 1] então existe algum n e um k
> <= n para o qual x(k) >= 1 - 1/n.
> 
> Suponhamos que valha esta conjectura. Vamos mostrar que SOMA( x(n)^n )
> diverge. Existe um n_1 e um k_1 <= n_1 tal que x(k_1) >= 1 - 1/n_1. Portanto
> x(k_1)^k_1 >= x(k_1)^n_1 >= (1 - n_1)^(n_1). Construímos uma outra seqüência
> y(n) tal que y(n) = 0 se n <= n_1 e y(n) = x(n) se n > n_1. Como alteremos
> somente um número finito de termos de x(n), a seqüência y(n) ainda é
> eqüdistribuída. Logo existem n_2 >= k_2 > n_1 tal que x(k_2)^(k_2) >= (1 -
> 1/n_2)^(n_2). Prosseguimos indutivamente e obtemos duas seqüências n_1 < n_2
> < ... e k_1 < k_2 < ... tal que x(k_i) >= (1 - 1/n_i)^n_i. Como (n_i) é uma
> seqüência de inteiros crescente, tende ao infinito, logo a partir de um
> determinado I temos: i >= I implica (1 - n_i)^(n_i) >= (1/2) e^(-1) pois
> lim( (1 - 1/n)^n ) = e^(-1). Segue que SOMA( x(n)^n ) >= SOMA( x(n_i)^(n_i),
> i>=I ) >= (1/2) ( e^(-1) + e^(-1) + ... ) = +INFINITO e a série diverge.
> 
> Será que vale a conjectura?
> 
> Abraço,
> Duda.
> 
Oi, Duda.

Entendi o que voce quis dizer, mas tenho duvidas quanto a veracidade da sua
conjectura.

Por exemplo, seja x(n) uma sequencia U[0,1] e seja y(n) = x(n)*(1 - 2/n)
para n >= 3.

Eh claro que para todo n e todo k <= n, y(k) <= 1 - 2/n < 1 - 1/n.

Mas serah que y(n) tambem nao eh U[0,1]? Eu diria que sim, mas nao consegui
provar.

Por exemplo, sejam:
a, b reais tais que 0 <= a < b <= 1;
N um natural >= 3;
A = { n | 3 <= n <= N, a <= y(n) < b} =
    { n | 3 <= n <= N, a/(1 - 2/n) <= x(n) < b/(1 - 2/n) };
B = { n | 3 <= n <= N, a <= x(n) < a/(1 - 2/n)};
C = { n | 3 <= n <= N, a/(1 - 2/n) <= x(n) < b};
D = { n | 3 <= n <= N, b <= x(n) < b/(1 - 2/n)}.

B, C e D sao disjuntos dois a dois e A = C U D.
Logo, |B U C| = |B|+|C|  e  |A| = |C|+|D|.

x(n) eh U[0,1] ==> lim(N->+inf) (|B|+|C|)/N = b - a ==>

lim(N->+inf) (|A|+(|B|-|D|))/N = b - a.

Agora, basta provar que lim(N->+inf) (|B|-|D|)/N = 0.
Como os intervalos correspondentes [a,a/(1-2/n)) e [b,b/(1-2/n)) tem
comprimentos que tendem a zero, tudo indica que isso eh verdade.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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