[obm-l] Conjunto compacto e pontos de acumulacao

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Olah a todos Eu mandei uma mensagem sobre isto, mas saiu truncada. Ai vai de
novo, espreo que nao trunque de novo.
Ontem eu me deparei com um problema interessante: achar um conjunto compacto
da reta real que possua um numero contavel mas infinito de pontos de
acumulacao. Estou agora pensando num processo que permita construir um
conjunto deste tipo em R^n e me ocorreram os seguintes passos.
(1)Achar uma sequencia (a_n) convergente em R^n para algum a, tal que seus
termos sejam distintos 2 a 2. Isto nao oferece qualquer dificuldade.
(2)Para cada n, determinar uma sequencia (b_n_m) que convirja para a_n,
tenha termos distintos 2 a 2, de modo tal que a colecao B ={(b_n_m),
n=1,2...} convirja uniformemente para (a_n). Isto eh, para todo eps>0
arbitrariamente escolhido, exista um k tal que, se m>=k entao |b_n_m
-a_n|<eps para todo n. Nao eh dificil. Econtrada (b_n_1), basta, para cada
n, trasnslada-la de a_n -a_1, que a colecao de sequencias assim obtida
atenderah ao desejado.
(3) A colecao B pode ser vista como uma sequencia dupla. (1) e (2) garantem
que a mesma possui um limite duplo, que eh o proprio a. Alem disto, (1) e
(2) tambem garantem que, se virmos cada (a_n_m), m=1,2... como sequencias em
"linha", entao as sequencia em "coluna" (a_n_m), n=1,2... tambem convergem e
a sequencia de seus respectivos limites, (b_m) -cujos termos sao distintos 2
a 2- converge para a.
(4)Temos entao que, visto como um conjunto, B eh limitado. Eh facil ver que
os elementos a_n e b_m sao todos pontos de acumulacao de B e que existem
infintos e enumeraveis a_n's e b_m's. Alem disto, o elemento a eh tambem
ponto de acumulacao de B.
A minha ideia agora eh agregar a, os a_n's e os b_m's a B, obtendo um
conjunto B*, que eh limitado. Eu achom que este conjunto eh fechado, por
conter todos os seus pontos de acumulacao, e eh o fecho de B. Logo B* eh
compacto (teorema de Heine Borel) e possui um numero infinito e enumeravel
de pontos de acumulacao. Eu ainda nao consegui apresentar um a prova
rigorosa de que, afora a, os a_n's e os b_n's B nao possui outros pontos de
acumulacao, embora este parece ser claramente o caso.
Um abraco
Artur

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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