Re: [obm-l] [u] Conjuntos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Aug 18, 2003 at 09:46:11PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> Ol� Nicolau!
> 
> O problema ficou trivial. Farei outro
> 
> PROBLEMA. Seja X um conjunto totalmente ordenado. Decida se existe ou n�o
> uma seq��ncia (x_n) de elementos de X tal que todo elemento x de X �
> superado por algum elemento da seq��ncia.

Isto � falso, ou seja, pode n�o existir a tal seq��ncia.
Um contra-exemplo � o primeiro ordinal n�o enumer�vel w1
(isto deveria ser um omega min�sculo com um subscrito 1):
todo subconjunto enumer�vel de w1 � limitado superiormente.

Na verdade isto � o conceito de cofinitude. A cofinitude de um conjunto
totalmente ordenado A sem m�ximo e n�o vazio � o menor cardinal z
tal que existe um subconjunto B de A ilimitado superiormente e com
cardinalidade z.

Um cardinal infinito pode ser interpretado como um ordinal,
o menor ordinal com aquela cardinalidade. Um cardinal infinito z �
regular se todo subconjunto de z ilimitado superiormente tem cardinalidade z.
Todo cardinal da forma aleph_alpha � regular se alpha = beta + 1.
Um cardinal � regular se e somente se ele � a cofinitude dele mesmo,
se e somente se ele � a cofinitude de algu�m. 

O seu problema fica verdadeiro se ao inv�s de uma seq��ncia
(indexada por naturais) tivermos uma fam�lia indexada pelos ordinais
menores do que a cofinitude de X.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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