Re: [obm-l] [u] Conjuntos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Aug 18, 2003 at 09:46:11PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> Olá Nicolau!
> 
> O problema ficou trivial. Farei outro
> 
> PROBLEMA. Seja X um conjunto totalmente ordenado. Decida se existe ou não
> uma seqüência (x_n) de elementos de X tal que todo elemento x de X é
> superado por algum elemento da seqüência.

Isto é falso, ou seja, pode não existir a tal seqüência.
Um contra-exemplo é o primeiro ordinal não enumerável w1
(isto deveria ser um omega minúsculo com um subscrito 1):
todo subconjunto enumerável de w1 é limitado superiormente.

Na verdade isto é o conceito de cofinitude. A cofinitude de um conjunto
totalmente ordenado A sem máximo e não vazio é o menor cardinal z
tal que existe um subconjunto B de A ilimitado superiormente e com
cardinalidade z.

Um cardinal infinito pode ser interpretado como um ordinal,
o menor ordinal com aquela cardinalidade. Um cardinal infinito z é
regular se todo subconjunto de z ilimitado superiormente tem cardinalidade z.
Todo cardinal da forma aleph_alpha é regular se alpha = beta + 1.
Um cardinal é regular se e somente se ele é a cofinitude dele mesmo,
se e somente se ele é a cofinitude de alguém. 

O seu problema fica verdadeiro se ao invés de uma seqüência
(indexada por naturais) tivermos uma família indexada pelos ordinais
menores do que a cofinitude de X.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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