[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Re: [obm-l] Ajuda

To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: Re: [obm-l] Ajuda
From: "Thyago" <dexx@xxxxxxxxxx>
Date: Tue, 12 Aug 2003 21:07:28 -0300
References: <BB5E6AD0.1472%claudio.buffara@terra.com.br>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Olá Claudio e companheiros da lista

Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que esta solução é prática :-)

O que eu estava querendo inicialmente é uma solução que nem a da questão
abaixo, veja só:

S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + sen(na)

Em que a solução consiste em multiplicar ambos os lados da igualdade pelo
seno da metade da razão da PA, e após efetuar a prostaférese e sair
cortando. Sem muitas delongas!
...

Já ouvi dizer que a resolução que procuro existe, e está escrita em um tal
livro russo chamado "Lidski, problemas de PA", ou algo do gênero... mas
nunca tive o privilégio de ter algum contato com essa obra. Alguém já ouviu
falar?

Atenciosamente
¡Thyago!



----- Original Message -----
From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM
Subject: Re: [obm-l] Ajuda


> Oi, Thyago:
>
> Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) =
> -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma
> propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da
> unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu
> tinha em mente. Parabens!
>
> A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de
duas
> maneiras diferentes:
> Primeiro:
> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1)
> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1)
>
> Depois:
> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1)
> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1)
>
> E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao
eh
> mais simples e, portanto, melhor.
>
> O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que
> (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1
> mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente).
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", entao eu nao sei o que eh.
Repare:
> voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe
calcula-los?
> Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa
> sorte...
>
> on 12.08.03 00:45, Thyago at dexx@pop.com.br wrote:
>
> > Olá Cláudio,
> >
> > Obrigado pelas dicas  :-)
> >
> > Mas a resolução que eu fiz não foi nada prática não.
> > Eu já utilizei todas estas propriedades e não consegui chegar em nada.
> > Bom, só para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exercício que
gerou
> > tal questão:
> >
> >
> > (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de x^n=1. Calcule: P = (1 -
> > x2)(1-x3)...(1-xn).
> >
> > Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de polinômios, conseguimos
chegar
> > facilmente na resposta P = n.
> > Mas, utilizando o tratamento vetorial de números complexos com a fórmula
> > 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em
> >
> > P = 2^(n-1) . S
> >
> > Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
> >
> > Daí, utilizando a resposta da primeira resolução com a resposta da
segunda
> > resolução temos que S = n/[2^(n-1) ]
> > Dá para ver que esta demonstração para S não é nada prática.
> >
> > Você citou uma "solução padrão" para este tipo de problema. Qual seria?
> >
> > Aguardo resposta
> >
> > Atenciosamente
> > ¡Thyago!
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: Cláudio (Prática) <claudio@praticacorretora.com.br>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM
> > Subject: Re: [obm-l] Ajuda
> >
> >
> >> Oi, Thyago:
> >>
> >> A solução "padrão" pra esse tipo de problema realmente envolve
complexos e
> >> polinômios.
> >>
> >> Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que
> >> complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural.
> >>
> >> Os resultados básicos são os seguintes:
> >> 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) +
> >> i*sen(a)), onde "R" é um real não negativo e "a" é um real qualquer
(mas
> >> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]);
> >> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função
exponencial
> >> complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de
> > senos
> >> e cossenos de números reais em PA em sequências de complexos em PG, que
as
> >> vezes são mais fáceis de manipular;
> >> 3) Um polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto
de
> >> binômios da forma (x - b) e/ou trinômios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x +
> >> R^2), onde a e b são números reais quaisquer e R é um real positivo.
> >>
> >> Um abraço,
> >> Claudio.
> >>
> >>
> >> ----- Original Message -----
> >> From: "dex" <dexx@pop.com.br>
> >> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM
> >> Subject: [obm-l] Ajuda
> >>
> >>
> >>> Olá pessoal
> >>>
> >>> Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo
> >>>
> >>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
> >>> com n Inteiro positivo
> >>>
> >>> A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei até este resultado de uma
> >> maneira
> >>> muito pouco prática, nada natural para uma questão de matemática (de
> >>> vestibular). Consegui prová-la utilizando o resultado de uma outra
> >> questão,
> >>> que versava sobre polinômios e complexos. Ou seja, se eu não tivesse
> > visto
> >>> esta outra questão não conseguiria provar nada!
> >>>
> >>> Atneciosamente
> >>> ¡Thyago!
> >>>
> >>
> >>
=========================================================================
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >>
=========================================================================
> >>
> >
> >
=========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
=========================================================================
> >
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

Follow-Ups:
- [obm-l] Soma de Senos
  - From: Claudio Buffara
- [obm-l] Produto de Cossenos
  - From: Claudio Buffara

References:
- Re: [obm-l] Ajuda
  - From: Claudio Buffara

Prev by Date: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Next by Date: [obm-l] Soma de Senos
Prev by thread: Re: [obm-l] Ajuda
Next by thread: [obm-l] Soma de Senos
Index(es):
- Date
- Thread