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Re: [obm-l] Ajuda
Oi, Thyago:
Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) =
-2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma
propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da
unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu
tinha em mente. Parabens!
A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de duas
maneiras diferentes:
Primeiro:
x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1)
x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1)
Depois:
x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1)
x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1)
E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao eh
mais simples e, portanto, melhor.
O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que
(-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1
mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente).
Um abraco,
Claudio.
PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", entao eu nao sei o que eh. Repare:
voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe calcula-los?
Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa
sorte...
on 12.08.03 00:45, Thyago at dexx@pop.com.br wrote:
> Olá Cláudio,
>
> Obrigado pelas dicas :-)
>
> Mas a resolução que eu fiz não foi nada prática não.
> Eu já utilizei todas estas propriedades e não consegui chegar em nada.
> Bom, só para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exercício que gerou
> tal questão:
>
>
> (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de x^n=1. Calcule: P = (1 -
> x2)(1-x3)...(1-xn).
>
> Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de polinômios, conseguimos chegar
> facilmente na resposta P = n.
> Mas, utilizando o tratamento vetorial de números complexos com a fórmula
> 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em
>
> P = 2^(n-1) . S
>
> Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
>
> Daí, utilizando a resposta da primeira resolução com a resposta da segunda
> resolução temos que S = n/[2^(n-1) ]
> Dá para ver que esta demonstração para S não é nada prática.
>
> Você citou uma "solução padrão" para este tipo de problema. Qual seria?
>
> Aguardo resposta
>
> Atenciosamente
> ¡Thyago!
>
> ----- Original Message -----
> From: Cláudio (Prática) <claudio@praticacorretora.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM
> Subject: Re: [obm-l] Ajuda
>
>
>> Oi, Thyago:
>>
>> A solução "padrão" pra esse tipo de problema realmente envolve complexos e
>> polinômios.
>>
>> Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que
>> complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural.
>>
>> Os resultados básicos são os seguintes:
>> 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) +
>> i*sen(a)), onde "R" é um real não negativo e "a" é um real qualquer (mas
>> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]);
>> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função exponencial
>> complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de
> senos
>> e cossenos de números reais em PA em sequências de complexos em PG, que as
>> vezes são mais fáceis de manipular;
>> 3) Um polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto de
>> binômios da forma (x - b) e/ou trinômios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x +
>> R^2), onde a e b são números reais quaisquer e R é um real positivo.
>>
>> Um abraço,
>> Claudio.
>>
>>
>> ----- Original Message -----
>> From: "dex" <dexx@pop.com.br>
>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM
>> Subject: [obm-l] Ajuda
>>
>>
>>> Olá pessoal
>>>
>>> Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo
>>>
>>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
>>> com n Inteiro positivo
>>>
>>> A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei até este resultado de uma
>> maneira
>>> muito pouco prática, nada natural para uma questão de matemática (de
>>> vestibular). Consegui prová-la utilizando o resultado de uma outra
>> questão,
>>> que versava sobre polinômios e complexos. Ou seja, se eu não tivesse
> visto
>>> esta outra questão não conseguiria provar nada!
>>>
>>> Atneciosamente
>>> ¡Thyago!
>>>
>>
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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