Re: [obm-l] Ajuda

["Thyago" <dexx@xxxxxxxxxx>]

Olá Cláudio,

Obrigado pelas dicas  :-)

Mas a resolução que eu fiz não foi nada prática não.
Eu já utilizei todas estas propriedades e não consegui chegar em nada.
Bom, só para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exercício que gerou
tal questão:


(IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de x^n=1. Calcule: P = (1 -
x2)(1-x3)...(1-xn).

Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de polinômios, conseguimos chegar
facilmente na resposta P = n.
Mas, utilizando o tratamento vetorial de números complexos com a fórmula
1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em

P = 2^(n-1) . S

Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]

Daí, utilizando a resposta da primeira resolução com a resposta da segunda
resolução temos que S = n/[2^(n-1) ]
Dá para ver que esta demonstração para S não é nada prática.

Você citou uma "solução padrão" para este tipo de problema. Qual seria?

Aguardo resposta

Atenciosamente
¡Thyago!

----- Original Message -----
From: Cláudio (Prática) <claudio@praticacorretora.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM
Subject: Re: [obm-l] Ajuda


> Oi, Thyago:
>
> A solução "padrão" pra esse tipo de problema realmente envolve complexos e
> polinômios.
>
> Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que
> complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural.
>
> Os resultados básicos são os seguintes:
> 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) +
> i*sen(a)), onde "R" é um real não negativo e "a" é um real qualquer (mas
> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]);
> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função exponencial
> complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de
senos
> e cossenos de números reais em PA em sequências de complexos em PG, que as
> vezes são mais fáceis de manipular;
> 3) Um polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto de
> binômios da forma (x - b) e/ou trinômios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x +
> R^2), onde a e b são números reais quaisquer e R é um real positivo.
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
>
> ----- Original Message -----
> From: "dex" <dexx@pop.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM
> Subject: [obm-l] Ajuda
>
>
> > Olá pessoal
> >
> > Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo
> >
> > P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
> > com n Inteiro positivo
> >
> > A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei até este resultado de uma
> maneira
> > muito pouco prática, nada natural para uma questão de matemática (de
> > vestibular). Consegui prová-la utilizando o resultado de uma outra
> questão,
> > que versava sobre polinômios e complexos. Ou seja, se eu não tivesse
visto
> > esta outra questão não conseguiria provar nada!
> >
> > Atneciosamente
> > ¡Thyago!
> >
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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