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[obm-l] Produto de Cossenos
Thyago:
Para um produto de senos de numeros em PA, eu acho que a sua solucao eh a
melhor.
No entanto, se o produto for de cossenos de numeros em PG da razao 2, ai a
coisa muda de figura...
P = cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) ==>
sen(a)P = sen(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) =
= (1/2)sen(2a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) =
= (1/4)sen(4a)cos(4a)...cos(2^na) =
= (1/8)sen(8a)cos(8a)...cos(2^na) =
...
= (1/2^n)sen(2^na)cos(2^na) =
= (1/2^(n+1))sen(2^(n+1)a)
Logo: P = sen(2^(n+1)a)/(2^(n+1)sen(a))
Serah que era esse o problema do Lidski que voce procurava?
Um abraco,
Claudio.
on 12.08.03 21:07, Thyago at dexx@pop.com.br wrote:
> Olá Claudio e companheiros da lista
>
> Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que esta solução é prática :-)
>
> O que eu estava querendo inicialmente é uma solução que nem a da questão
> abaixo, veja só:
>
> S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + sen(na)
>
> Em que a solução consiste em multiplicar ambos os lados da igualdade pelo
> seno da metade da razão da PA, e após efetuar a prostaférese e sair
> cortando. Sem muitas delongas!
> ...
>
> Já ouvi dizer que a resolução que procuro existe, e está escrita em um tal
> livro russo chamado "Lidski, problemas de PA", ou algo do gênero... mas
> nunca tive o privilégio de ter algum contato com essa obra. Alguém já ouviu
> falar?
>
> Atenciosamente
> ¡Thyago!
>
>
>
> ----- Original Message -----
> From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM
> Subject: Re: [obm-l] Ajuda
>
>
>> Oi, Thyago:
>>
>> Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) =
>> -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma
>> propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da
>> unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu
>> tinha em mente. Parabens!
>>
>> A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de
> duas
>> maneiras diferentes:
>> Primeiro:
>> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1)
>> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1)
>>
>> Depois:
>> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1)
>> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1)
>>
>> E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao
> eh
>> mais simples e, portanto, melhor.
>>
>> O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que
>> (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1
>> mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente).
>>
>> Um abraco,
>> Claudio.
>>
>> PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", entao eu nao sei o que eh.
> Repare:
>> voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe
> calcula-los?
>> Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa
>> sorte...
>>
>> on 12.08.03 00:45, Thyago at dexx@pop.com.br wrote:
>>
>>> Olá Cláudio,
>>>
>>> Obrigado pelas dicas :-)
>>>
>>> Mas a resolução que eu fiz não foi nada prática não.
>>> Eu já utilizei todas estas propriedades e não consegui chegar em nada.
>>> Bom, só para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exercício que
> gerou
>>> tal questão:
>>>
>>>
>>> (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de x^n=1. Calcule: P = (1 -
>>> x2)(1-x3)...(1-xn).
>>>
>>> Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de polinômios, conseguimos
> chegar
>>> facilmente na resposta P = n.
>>> Mas, utilizando o tratamento vetorial de números complexos com a fórmula
>>> 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em
>>>
>>> P = 2^(n-1) . S
>>>
>>> Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
>>>
>>> Daí, utilizando a resposta da primeira resolução com a resposta da
> segunda
>>> resolução temos que S = n/[2^(n-1) ]
>>> Dá para ver que esta demonstração para S não é nada prática.
>>>
>>> Você citou uma "solução padrão" para este tipo de problema. Qual seria?
>>>
>>> Aguardo resposta
>>>
>>> Atenciosamente
>>> ¡Thyago!
>>>
>>> ----- Original Message -----
>>> From: Cláudio (Prática) <claudio@praticacorretora.com.br>
>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>> Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM
>>> Subject: Re: [obm-l] Ajuda
>>>
>>>
>>>> Oi, Thyago:
>>>>
>>>> A solução "padrão" pra esse tipo de problema realmente envolve
> complexos e
>>>> polinômios.
>>>>
>>>> Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que
>>>> complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural.
>>>>
>>>> Os resultados básicos são os seguintes:
>>>> 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) +
>>>> i*sen(a)), onde "R" é um real não negativo e "a" é um real qualquer
> (mas
>>>> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]);
>>>> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função
> exponencial
>>>> complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de
>>> senos
>>>> e cossenos de números reais em PA em sequências de complexos em PG, que
> as
>>>> vezes são mais fáceis de manipular;
>>>> 3) Um polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto
> de
>>>> binômios da forma (x - b) e/ou trinômios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x +
>>>> R^2), onde a e b são números reais quaisquer e R é um real positivo.
>>>>
>>>> Um abraço,
>>>> Claudio.
>>>>
>>>>
>>>> ----- Original Message -----
>>>> From: "dex" <dexx@pop.com.br>
>>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM
>>>> Subject: [obm-l] Ajuda
>>>>
>>>>
>>>>> Olá pessoal
>>>>>
>>>>> Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo
>>>>>
>>>>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
>>>>> com n Inteiro positivo
>>>>>
>>>>> A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei até este resultado de uma
>>>> maneira
>>>>> muito pouco prática, nada natural para uma questão de matemática (de
>>>>> vestibular). Consegui prová-la utilizando o resultado de uma outra
>>>> questão,
>>>>> que versava sobre polinômios e complexos. Ou seja, se eu não tivesse
>>> visto
>>>>> esta outra questão não conseguiria provar nada!
>>>>>
>>>>> Atneciosamente
>>>>> ¡Thyago!
>>>>>
>>>>
>>>>
> =========================================================================
>>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>>>
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>>>>
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