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[obm-l] Soma de Senos

To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: [obm-l] Soma de Senos
From: Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>
Date: Tue, 12 Aug 2003 21:50:14 -0300
In-Reply-To: <000f01c3612f$005a9740$612efea9@hurdles>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
User-Agent: Microsoft-Outlook-Express-Macintosh-Edition/5.02.2022
Oi, Thyago:

Uma solucao 100% trigonometrica pra essa soma de senos voce encontra no
livro do Luis Lopes - Manual de Trigonometria, ou entao, voce pode usar
sen(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i) e transformar a soma em duas PGs complexas.

Os dois jeitos sao um pouco bracais.

Um abraco,
Claudio.

on 12.08.03 21:07, Thyago at dexx@pop.com.br wrote:

> Ol� Claudio e companheiros da lista
> 
> Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que esta solu��o � pr�tica :-)
> 
> O que eu estava querendo inicialmente � uma solu��o que nem a da quest�o
> abaixo, veja s�:
> 
> S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + sen(na)
> 
> Em que a solu��o consiste em multiplicar ambos os lados da igualdade pelo
> seno da metade da raz�o da PA, e ap�s efetuar a prostaf�rese e sair
> cortando. Sem muitas delongas!
> ...
> 
> J� ouvi dizer que a resolu��o que procuro existe, e est� escrita em um tal
> livro russo chamado "Lidski, problemas de PA", ou algo do g�nero... mas
> nunca tive o privil�gio de ter algum contato com essa obra. Algu�m j� ouviu
> falar?
> 
> Atenciosamente
> �Thyago!
> 
> 
> 
> ----- Original Message -----
> From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM
> Subject: Re: [obm-l] Ajuda
> 
> 
>> Oi, Thyago:
>> 
>> Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) =
>> -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma
>> propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da
>> unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu
>> tinha em mente. Parabens!
>> 
>> A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de
> duas
>> maneiras diferentes:
>> Primeiro:
>> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1)
>> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1)
>> 
>> Depois:
>> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1)
>> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1)
>> 
>> E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao
> eh
>> mais simples e, portanto, melhor.
>> 
>> O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que
>> (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1
>> mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente).
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", entao eu nao sei o que eh.
> Repare:
>> voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe
> calcula-los?
>> Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa
>> sorte...
>> 
>> on 12.08.03 00:45, Thyago at dexx@pop.com.br wrote:
>> 
>>> Ol� Cl�udio,
>>> 
>>> Obrigado pelas dicas  :-)
>>> 
>>> Mas a resolu��o que eu fiz n�o foi nada pr�tica n�o.
>>> Eu j� utilizei todas estas propriedades e n�o consegui chegar em nada.
>>> Bom, s� para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exerc�cio que
> gerou
>>> tal quest�o:
>>> 
>>> 
>>> (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as ra�zes de x^n=1. Calcule: P = (1 -
>>> x2)(1-x3)...(1-xn).
>>> 
>>> Fazendo uso de Briot-Rufini e fatora��o de polin�mios, conseguimos
> chegar
>>> facilmente na resposta P = n.
>>> Mas, utilizando o tratamento vetorial de n�meros complexos com a f�rmula
>>> 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em
>>> 
>>> P = 2^(n-1) . S
>>> 
>>> Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
>>> 
>>> Da�, utilizando a resposta da primeira resolu��o com a resposta da
> segunda
>>> resolu��o temos que S = n/[2^(n-1) ]
>>> D� para ver que esta demonstra��o para S n�o � nada pr�tica.
>>> 
>>> Voc� citou uma "solu��o padr�o" para este tipo de problema. Qual seria?
>>> 
>>> Aguardo resposta
>>> 
>>> Atenciosamente
>>> �Thyago!
>>> 
>>> ----- Original Message -----
>>> From: Cl�udio (Pr�tica) <claudio@praticacorretora.com.br>
>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>> Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM
>>> Subject: Re: [obm-l] Ajuda
>>> 
>>> 
>>>> Oi, Thyago:
>>>> 
>>>> A solu��o "padr�o" pra esse tipo de problema realmente envolve
> complexos e
>>>> polin�mios.
>>>> 
>>>> Tentando resolver outros problemas similares, voc� vai perceber que
>>>> complexos e polin�mios s�o uma forma de resolu��o bastante natural.
>>>> 
>>>> Os resultados b�sicos s�o os seguintes:
>>>> 1) Todo n�mero complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) +
>>>> i*sen(a)), onde "R" � um real n�o negativo e "a" � um real qualquer
> (mas
>>>> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou ent�o (-pi,pi]);
>>>> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa � a defini��o da fun��o
> exponencial
>>>> complexa, que permite, por exemplo, que voc� transforme sequ�ncias de
>>> senos
>>>> e cossenos de n�meros reais em PA em sequ�ncias de complexos em PG, que
> as
>>>> vezes s�o mais f�ceis de manipular;
>>>> 3) Um polin�mio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto
> de
>>>> bin�mios da forma (x - b) e/ou trin�mios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x +
>>>> R^2), onde a e b s�o n�meros reais quaisquer e R � um real positivo.
>>>> 
>>>> Um abra�o,
>>>> Claudio.
>>>> 
>>>> 
>>>> ----- Original Message -----
>>>> From: "dex" <dexx@pop.com.br>
>>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM
>>>> Subject: [obm-l] Ajuda
>>>> 
>>>> 
>>>>> Ol� pessoal
>>>>> 
>>>>> Gostaria de saber uma boa demonstra��o para o exerc�cio abaixo
>>>>> 
>>>>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
>>>>> com n Inteiro positivo
>>>>> 
>>>>> A resposta � P = n/[2^(n-1)], mas cheguei at� este resultado de uma
>>>> maneira
>>>>> muito pouco pr�tica, nada natural para uma quest�o de matem�tica (de
>>>>> vestibular). Consegui prov�-la utilizando o resultado de uma outra
>>>> quest�o,
>>>>> que versava sobre polin�mios e complexos. Ou seja, se eu n�o tivesse
>>> visto
>>>>> esta outra quest�o n�o conseguiria provar nada!
>>>>> 
>>>>> Atneciosamente
>>>>> �Thyago!
>>>>> 
>>>> 
>>>> 
> =========================================================================
>>>> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>>> 
> =========================================================================
>>>> 
>>> 
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>>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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