RE: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Resolvi escrever imediatamente aqueles que me vieram a cabeça, pois
provavelmente são os que mais me tocaram. Não olhei ainda as outras opiniões
da lista, para não ser influenciado.

1) A prova de que toda sequencia de numero reais contem uma subsequencia
monotonica.

2)A famosa e linda prova de Euclides de que o conjunto dos numeros primos eh
infinito.

3) A prova de Cantor, baseada em expansoes decimais, de que o conjunto dos
reais naum eh numeravel. 

4)A elegante prova da desigualdade das medias aritmetica e geometrica
baseada na propriedade da funcao exponencial segundo a qual e^x >= 1+ x para
todo real x (acho que eh acessivel ao nivel medio).

5)A prova de que, se n e p sao inteiros positivos e a= n^(1/p) nao eh
inteiro, entao a eh irracional

6) A simples e muito engenhosa prova de Cantor de que nenhum conjunto eh
equivalente ao conjunto de suas partes, a  qual tem como corolario a
conclusao de que o conjunto das partes de N (os naturais) nao eh numeravel.

7) A surpreendentemente simples prova de que os racionais sao numeraveis

8) A prova de que entre dois reais distintos hah uma infinidade de racionais
e de irracionais.

8)O lindo teorema de Dandelin, das conicas

9) A prova de que as medianas de um triangulo encontram-se em um mesmo
ponto, o baricentro, o qual, sobre cada mediana, estah a 2/3 do vertice eh a
1/3 da base.

10) E este, muito simples, caiu no vestibular interno do antigo curso Vetor,
em 1969: Em um triangulo ABC, o circulo inscrito c tangencia AB e AC nos
pontos M e N. A partir de um ponto O sobre o arco MN, de c, distinto de M e
de N, traca-se a  tangente a c, que intersecta Ab e AC nos pontos P e Q.
Mostre que o perimetro do triangulo APQ independe da escolha do ponto O.   

Indo soh um pouquinho alem do nivel medio (desculpe-me, Claudio, se estou
extrapolando!),  cito ainda a prova de alguns teoremas que acho lindos de
morrer:

Se a funcao real f eh monotonica em um intervalo I, entao o conjunto dos
pontos de descontinuidade de f em I eh numeravel.

No conjunto dos reais, derivadas apresentam a propriedade do valor
intermediario

Se A eh compacto e B eh um subconjunto infinto de A, entao B tem um ponto de
acumulacao em A.  Se f eh continua em um conjunto compacto, entao f eh
uniformemente continua neste conjunto. 

Subconjuntos perfeitos de espacos metricos compactos nao sao numeraveis.

Aproveito a oportunidade para perguntar: Existe alguma conclusao da
matematica que vc considere contraria aa intuicao? Eu, por exemplo, acho um
tanto contra intuitivo que o fato de f ser diferenciavel  em R e apresentar
limite no infinito nao implique que f' apresente limite zero no infinito.
Algumas pessoas acham contra intuitivo que a serie harmonica seja
divergente.
Artur

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