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RE: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Pra quem curte beleza matematica,veja o livro
Proofs from THE BOOK.E so o melhor compilado da
perfeiçao!!!
Quer uma ai?
A demo do Erdös sobre o postulado de Bertrand.
Ou essa,tambem do Erdös:mostre que em uma
sequencia de mn+1 termos ha uma subsequencia
monotona de m termos ou de n+1 termos.
Eu nao acho essa demo de Medias muito
elegante.Mas a do log e mais legal...Vejam a
Eureka! 5.
Na Eureka!6 ha um exercicio de demonstrar que se
tg(x*pi)=4/5 entao x e irracional.
Tambem tem o teorema de Dehn-Hilbert,que mostra
que um cubo e um tetraedro nao sao
equidecomponiveis.E a versao 2-dimensoes
disso....
Ah,essa demo da propriedade do baricentro:pegue
uma reta paralela a um dos lados,prolongue tudo e
use semelhança sem medir as consequencias.
Problemas de geometria de IMO tambem estao na
lista!Veja so o tres da ultima IMO!
A demo do teorema de Ptolomeu,e a demo de
prostaferese a partir de Ptolomeu.
A prova de Euclides de que ha infinitos primos
nao e a que se encontra por ai mas e equivalente:
"2 e primo.
Dado o conjunto p1,p2,p3,p4,...,pn de
primos,considere o numero 1+p1*p2*...*pn.
Se este cara for primo,produzimos mais um
primo.Caso contrario basta fatorarmos e ver que
mos primos que aparecem sao novos.E fim!"
Outra da infinitude dos primos:pegue o conjunto
dos numeros de Fermat,e mostre que nas fatoraçoes
os caras sao diferentes.
A prova de que uma raiz enesima de um inteiro ou
e inteira ou e irracional e bem curta se voce
usar o fato de que as raizes de x^n-a sao
multiplas de algum fator primo de a.
--- Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br>
escreveu: > Resolvi escrever imediatamente
aqueles que me
> vieram a cabeça, pois
> provavelmente são os que mais me tocaram. Não
> olhei ainda as outras opiniões
> da lista, para não ser influenciado.
>
> 1) A prova de que toda sequencia de numero
> reais contem uma subsequencia
> monotonica.
>
> 2)A famosa e linda prova de Euclides de que o
> conjunto dos numeros primos eh
> infinito.
>
> 3) A prova de Cantor, baseada em expansoes
> decimais, de que o conjunto dos
> reais naum eh numeravel.
>
> 4)A elegante prova da desigualdade das medias
> aritmetica e geometrica
> baseada na propriedade da funcao exponencial
> segundo a qual e^x >= 1+ x para
> todo real x (acho que eh acessivel ao nivel
> medio).
>
> 5)A prova de que, se n e p sao inteiros
> positivos e a= n^(1/p) nao eh
> inteiro, entao a eh irracional
>
> 6) A simples e muito engenhosa prova de Cantor
> de que nenhum conjunto eh
> equivalente ao conjunto de suas partes, a qual
> tem como corolario a
> conclusao de que o conjunto das partes de N (os
> naturais) nao eh numeravel.
>
> 7) A surpreendentemente simples prova de que os
> racionais sao numeraveis
>
> 8) A prova de que entre dois reais distintos
> hah uma infinidade de racionais
> e de irracionais.
>
> 8)O lindo teorema de Dandelin, das conicas
>
> 9) A prova de que as medianas de um triangulo
> encontram-se em um mesmo
> ponto, o baricentro, o qual, sobre cada
> mediana, estah a 2/3 do vertice eh a
> 1/3 da base.
>
> 10) E este, muito simples, caiu no vestibular
> interno do antigo curso Vetor,
> em 1969: Em um triangulo ABC, o circulo
> inscrito c tangencia AB e AC nos
> pontos M e N. A partir de um ponto O sobre o
> arco MN, de c, distinto de M e
> de N, traca-se a tangente a c, que intersecta
> Ab e AC nos pontos P e Q.
> Mostre que o perimetro do triangulo APQ
> independe da escolha do ponto O.
>
> Indo soh um pouquinho alem do nivel medio
> (desculpe-me, Claudio, se estou
> extrapolando!), cito ainda a prova de alguns
> teoremas que acho lindos de
> morrer:
>
> Se a funcao real f eh monotonica em um
> intervalo I, entao o conjunto dos
> pontos de descontinuidade de f em I eh
> numeravel.
>
> No conjunto dos reais, derivadas apresentam a
> propriedade do valor
> intermediario
>
> Se A eh compacto e B eh um subconjunto infinto
> de A, entao B tem um ponto de
> acumulacao em A. Se f eh continua em um
> conjunto compacto, entao f eh
> uniformemente continua neste conjunto.
>
> Subconjuntos perfeitos de espacos metricos
> compactos nao sao numeraveis.
>
> Aproveito a oportunidade para perguntar: Existe
> alguma conclusao da
> matematica que vc considere contraria aa
> intuicao? Eu, por exemplo, acho um
> tanto contra intuitivo que o fato de f ser
> diferenciavel em R e apresentar
> limite no infinito nao implique que f'
> apresente limite zero no infinito.
> Algumas pessoas acham contra intuitivo que a
> serie harmonica seja
> divergente.
> Artur
>
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