[obm-l] Exemplo contra-intuitivo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 10.08.03 00:50, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:


> Eu, por exemplo, acho um tanto contra intuitivo que o fato de f ser
> diferenciavel  em R e apresentar limite no infinito nao implique
> que f' apresente limite zero no infinito.
> Artur
> 

Oi, Artur:

Quando li sua mensagem tambem fiquei com a mesma impressao. Entao, fui olhar
no livro Counterexamples in Analysis e achei um exemplo bem elementar:

f(x) = sen(x^2)/x  ==>  f'(x) = 2*cos(x^2) - sen(x^2)/x^2

Naturalmente, lim(x -> +inf) f(x) = 0 mas lim(x -> +inf) f'(x) nao existe.

Acho que uma explicacao seria a seguinte: a derivada de uma funcao mede a
taxa de variacao dessa funcao em relacao ao seu argumento, certo? No caso de
f(x) acima, a variacao tem duas "componentes": o decaimento da amplitude
(dado por 1/x) e o "zig-zag" (dado por sen(x^2)).

No caso de f(x), quando x -> infinito, o crescimento da frequencia do
zig-zag eh mais rapido do que a reducao da amplitude (x^2 contra 1/x). Logo,
eh de se esperar que a derivada nao tenda a zero.

De fato, se tomarmos um exemplo mais vivido:

g(x) = sen(x^3)/x ==> g'(x) = 3*x*cos(x^3) - sen(x^3)/x^2.

veremos que, quando x cresce sem limite, a derivada nao soh nao se anula,
como tambem assume valores arbitrariamente grandes (positivos e negativos).

Nao sei se essa explicacao torna o fenomeno intuitivo, mas pelo menos pra
mim, joga o pepino pra definicao de derivada e pro vilao de sempre - o
infinito.

*****

Serah que existe alguma f tal que:
f(x) tende a zero
e
f'(x) tende a L (diferente de zero)
quando x -> infinito?

*****

Acho que um sinal de que estamos fazendo progresso no nosso entendimento de
matematica (e de qualquer outro assunto) eh o fato de passarmos a achar
natural algo que antes parecia contra-intuitivo. Quanto maior esse
entendimento, menor o numero de fatos que permanecem contra-intuitivos.

O que eh meio chato eh eu ter levado uns 5 minutos pra pensar nos 10
exemplos da minha msg anterior, mas pelo menos eu tenho uma vaga ideia da
extensao da minha ignorancia.


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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