Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Aug 09, 2003 at 08:42:04PM -0300, Augusto Cesar de Oliveira Morgado
wrote:
> Os teoremas a respeito de as seçoes do cone por planos que nao contem o
> vertice serem elipses, parabolas ou hiperboles foram demonstrados por dois
> belgas, Quetelet e Dandelin, e sao conhecidos por muitos como os teoremas
> belgas. As demonstraçoes sao particularmente elegantes e surpreendentemente
> simples, principalmente se expostas no quadro-negro pelo Wagner. 

Ok. A demonstração do Wagner deve ser uma que envolve desenhar umas esferas.
É legal, mas não é minha demonstração favorita deste fato.
Por mim a demonstração "certa" consiste em observar que o cone tem equação
de grau 2 (x^2 + y^2 = z^2) e rodar ou transladar não altera o grau.
Tomar a interseção com um plano, digamos o plano z=0, já que rodamos,
também não altera o grau (só estamos eliminando os termos que envolvem z).
Logo a interseção é uma curva de grau 2 e já sabemos o que estas curvas são.

Observe que assim também demonstramos que a interseção de um parabolóide
ou um hiperbolóide com um plano também é uma cônica. Em particular,
a interseção de um hiperbolóide de revolução de uma folha (x^2 + y^2 = 1 + z^2)
com um plano tangente tem um ponto duplo, logo é um par de retas.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================