[obm-l] Problemas propostos de artigo do Eureka 11

[DEOLIVEIRASOU@xxxxxxx]

Existem alguns problemas propostos, seguidos ao artigo " trigonometria e desigualdades em problemas olímpicos" do eureka11. Gostaria de saber se o autor esse artigo( Rafael Tajra fonteles) faz parte da lista para me mandar algumas soluções....Se ele não fizer parte da lista, posso já deixar alguns para quem quiser resolver...
1)Prove que , dentre 13 números reais , existem dois, x e y, tais que:
Módulo de (x-y)<=(2-sqrt(3))*Módulo de(1+xy).....chamei x=tga, y=tgb com a e b pertencentes a (-pi/2,pi/2) , chegando consequentemente a uma desigualdade que envolve a tangente da diferença( como sugere o artigo)....só não consegui concluir...

2)Uma função d(x,y) de dois reais x e y é chamada distância se d(x,y)=d(y,x); d(x,x)=0; e d(x,y) + d(y,z)>=d(x,z) para quaisquer reais x,y ez. Prove que a seguinte função é uma distância:
     d(x,y)=( Módulo de (x-y) ) / sqrt(1+x^2)*sqrt(1+ y^2).
Conseguir provar com facilidade as duas primeiras condições, mas não consigo concluir a terceira.....Se alguém fizer eu agradeço,
                Crom