Re: [obm-l] Problemas propostos de artigo do Eureka 11

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Problemas propostos de artigo do Eureka 11

on 13.07.03 20:41, DEOLIVEIRASOU@aol.com at DEOLIVEIRASOU@aol.com wrote:

> Existem alguns problemas propostos, seguidos ao artigo " trigonometria e desigualdades em problemas olímpicos" do eureka11. Gostaria de saber se o autor esse artigo( Rafael Tajra fonteles) faz parte da lista para me mandar algumas soluções....Se ele não fizer parte da lista, posso já deixar alguns para quem quiser resolver...
>
> 1)Prove que , dentre 13 números reais , existem dois, x e y, tais que:
> Módulo de (x-y)<=(2-sqrt(3))*Módulo de(1+xy).....chamei x=tga, y=tgb com a e b pertencentes a (-pi/2,pi/2) , chegando consequentemente a uma desigualdade que envolve a tangente da diferença( como sugere o artigo)....só não consegui concluir...
>
> Oi, Crom:
>
> Desculpe a demora pra responder mas eu acabei de chegar de ferias e soh agora tive chance de pensar com carinho nos problemas da lista.
>
> A conclusao desse usa o principio das casas de pombos (PCP).
>
> Sejam a_1, ..., a_13 os arcos correspondentes aos 13 reais x_1, ..., x_13, de forma que:
> x_i = tg(a_i) para 1 <= i <= 13 e os a_i pertencem a (-pi/2,pi/2).
>
> Particione este intervalo em 12 sub-intervalos de comprimento pi/12, da seguinte forma:
> (-pi/2,pi/2) = (-pi/2,-5pi/12] U (-5pi/12,-pi/3] U ... U (pi/3,5pi/12] U (5pi/12,pi/2)
>
> Como existem 13 a_i's e apenas 12 sub-intervalos, o PCP garante a existencia de um sub-intervalo que contem dois dos a_i (digamos a_r e a_s, com a_r <= a_s)
>
> Assim, teremos que  0 <= a_s - a_r <= pi/12 ==>
> 0 <= tg(a_s - a_r) <= tg(pi/12) ==>
> 0 <= (tg(a_s) - tg(a_r))/(1+tg(a_s)*tg(a_r)) <= tg(pi/12) ==>
> 0 <= (x_s - x_r)/(1 + x_s*x_r) <= tg(pi/12)
>
> Agora, soh falta calcular tg(pi/12). 
> Usando que tg(2x) = 2*tg(x)/(1 - tg^2(x)) e que tg(pi/6) = 1/raiz(3), teremos:
> t  = tg(pi/12) ==>
> 1/raiz(3) = 2*t/(1-t^2) ==>
> t^2 + 2*raiz(3)*t - 1 = 0 ==>
> t = -2 + raiz(3)   (a outra raiz  = 2 + raiz(3) pode ser facilmente descartada, uma vez que tg(x) eh crescente em (0,pi/2), 0 < pi/12 < pi/6 e 2+raiz(3) > 1/raiz(3) ).
>
> Logo, tg(pi/12) = 2 - raiz(3), e portanto, acabamos de provar que existem dois reais x e y (entre os 13 dados) tais que:
> 0 <= (x - y)/(1+xy) <= 2 - raiz(3).
>
>
> Um abraco,
> Claudio.