Re: [obm-l] duvida de gabarito

Tudo bom?

Eu me distraí e acabei usando um "a" (que não era muito conveniente) para representar o número tal que sena=b/(a²+b²)^(1/2) e cosa=a/(a²+b²)^(1/2) .

Mandei outra mensagem trocando o "a" pelo "k",vc deve ter visto...Então vamos trabalhar com o "k":

senk=b/(a²+b²)^(1/2) e cosk=a/(a²+b²)^(1/2) .

"TENHO EM MENTE QUE AS DUAS PARCELAS ACIMA FORAM CONSTRUIDAS PELA PRIMEIRA RELACAO FUNDAMENTAL SEN(A)^2 + COS(B)^2 = 1, "

Isso mesmo...

, MAS PARA ISSO DEVEMOS TER s

ena=b/(a²+b²)^(1/2) e cosa=a/(a²+b²)^(1/2), QUE EH O QUE VC DEFINE ABAIXO. MINHA DUVIDA ESTA AQUI. COMO ESTABELECEU ESTAS DUAS EQUACOES ?

Bom,primeiro notemos que a e b não podem ser simultaneamente nulos nas condições do problema,esqueci-me dessa observação nas outras mensagens...Veja também que -1 < = a/(a²+b²)< = 1, bem como -1 < = b/(b²+a²) < = 1 e eles verificam a relação fundamental.Ainda,temos tgk=b/a (das definições que fiz),supondo "a" diferente de 0.Seja f: [-pi/2,pi/2] --> R, f(k)=tgk.É fácil ver que f é bijetora nesse domínio,logo,sendo b/a real,existe k em [-pi/2,pi/2] tal que f(k)=tgk=b/a.Portanto,existe tal k...

DE ONDE VEIO ESTE SEN(X+A) ?
OBS: SEI QUE SEN(X+A) = SENX*COSA + SENA*COSX, MAS QUAL A RELACAO COM O PROBLEMA ?

f(x)=(a²+b²)^(1/2) * [ a/(a²+b²)^(1/2) *senx + b/(a²+b²)^(1/2) cosx] <=>

<=> f(x)=(a²+b²)^(1/2) * [ cosk*senx + senk* cosx]

E vc vê de onde aparece sen(x+k)...O interessante é que -1< = sen(x+k) < = 1.O problema não quer que f esteja em [-1,1]?Então,se (a²+b²)^(1/2)=1,conseguiremos isso.Os valores da alternativa "a" são satisfatórios.

----- Original Message -----

From: Faelccmm@aol.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Sunday, July 13, 2003 9:11 PM

Subject: Re: [obm-l] duvida de gabarito

Tive algumas duvidas, se o autor ou qualquer membro puder me esclarecer agradeceria. Estao no corpo da mensagem.

Em uma mensagem de 13/7/2003 20:42:55 Hora padrão leste da Am. Sul, edalbuquerque@uol.com.br escreveu:

Faça o seguinte:

f(x) = asen(x) + bcos(x) <=> f(x)=(a²+b²)^(1/2) * [ a/(a²+b²)^(1/2) *senx + b/(a²+b²)^(1/2) cosx]

(ATE AQUI TUDO BEM.)

N
ote que [a/(a²+b²)^(1/2) ]²+[b/(a²+b²)^(1/2)]² = 1,então existe "a" tal que

TENHO EM MENTE QUE AS DUAS PARCELAS ACIMA FORAM CONSTRUIDAS PELA PRIMEIRA RELACAO FUNDAMENTAL SEN(A)^2 + COS(B)^2 = 1, MAS PARA ISSO DEVEMOS TER s
ena=b/(a²+b²)^(1/2) e cosa=a/(a²+b²)^(1/2), QUE EH O QUE VC DEFINE ABAIXO. MINHA DUVIDA ESTA AQUI. COMO ESTABELECEU ESTAS DUAS EQUACOES ?

s
ena=b/(a²+b²)^(1/2) e cosa=a/(a²+b²)^(1/2)

E,portanto,f(x)=(a²+b²)^(1/2) * sen(x+a).Já temos que -1 < = sen(x+a) < =1,então

DE ONDE VEIO ESTE SEN(X+A) ?
OBS: SEI QUE SEN(X+A) = SENX*COSA + SENA*COSX, MAS QUAL A RELACAO COM O PROBLEMA ?

se tivermos (a²+b²)^(1/2) = 1,we are done.

A única alternativa satisfazendo isso é a alternativa "a".

MESMO COM DUVIDAS, GOSTEI MUITO DA RESOLUCAO.

----- Original Message -----

From: Faelccmm@aol.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, July 13, 2003 7:30 PM
Subject: [obm-l] duvida de gabarito

Ola pessoal,

Vejam a questao abaixo:

Para que o conjunto imagem da funcao f(x) = asen(x) + bcos(x) esteja contido no intervalo[-1; 1] eh suficiente que a e b sejam, respectivamente, iguais a:

a)(raiz)3/2 e 1/2
b)(raiz)3/3 e(raiz)3
c)(raiz)3 e(raiz)3/3
d)1 e 1
e)(raiz)2/2 e(raiz)2

gabarito: a

Duvida: Nao entendi por que o gabarito diz que a alternativa a eh acorreta.
Fiz diferente:

Considerei a expressao: asen(x) +bcos(x) em dois casos
asen(x) + bcos(x)= -1
e
asen(x) + bcos(x)= -1

Ateh agora naofiz nada de novo, apenas equacionei o que o enunciado diz: ... -1 <= f(x) <= 1 (intervalos inclusos –oo e +oo)

Para que as duasequacoes facam sentido devemos fazer x= pi/2, pi, 3pi/2 e/ou 2pi, pois estes arcos possuem senos ecossenos extremos. Inspecionando verificamos que a= 1 ou -1 e b= -1 ou -1 tbem.Para satisfazer as alternativas devemos considerar a=1, b=1. Alternativa d.
O que fiz de errado ?