Re: [obm-l] Sugestao para solucao

[Marcio <mmrocha1@xxxxxxxxxx>]

on 7/7/03 1:26 AM, Rodrigo Villard Milet at villard@vetor.com.br wrote:

> Olhem o que eu escrevi no meio da msg
> -----Mensagem original-----
> De: Domingos Jr. <dopikas@uol.com.br>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Domingo, 6 de Julho de 2003 23:57
> Assunto: Re: [obm-l] Sugestao para solucao
> 
> 
>> 1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh
>> comutativo.
>> A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x +
>> y.
>> Desenvolvendo, temos:
>> x.x + x.y + y.x + y.y  = x + y.
>> x^2 + x.y + y.x  +  y^2 = x + y.
>> Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a
>> xy = -(yx)
>> Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei?
>> 
>> que tal:
>> -(yx) pertence a A, então
>> -(yx) = [-(yx)]² = (yx)² = yx
> 
> Aqui você não pode fazer isso :  [-(yx)]² = (yx)² , pois [-(yx)]²
> =(-yx)*(-yx) e vc ñ sabe ainda q x e y comutam...  o seu argumento abaixo
> mostra que (-1)^2 = 1 e como -1 está em A, temos que 1=(-1)^2=-1, portanto
> xy = -yx = (-1)*yx = 1*yx = yx
> 
>> para ver que (-a)² = a², temos
>> 0 = a.0 = a.(a - a) = a² + a(-a) => a.(-a) = -a²
>> da mesma forma
>> 0 = 0.a = (a - a).a = a² + (-a).a => (-a).a = -a²
>> tb temos:
>> (a - a)² = 0
>> a² + a(-a) + (-a).a + (-a)² = 0
>> a² - a² - a²+ (-a)² = 0
>> - a²+ (-a)² = 0 => (-a)² = a²
>> 
>> acho que nem precisava dessa última parte, mas serve como curiosidade...
> 
> Abraços,
> Villard
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =========================================================================
>> 
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
Obrigado a todos que deram sugestoes na questao de Algebra. Se a segunda
questao na ficou clara, ja enviei uma resposta ao Paulo Santa Rita
explicando melhor o enunciado.

Saudacoes a todos.

Marcio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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