Re: [obm-l] Sugestao para solucao

[Marcio <mmrocha1@xxxxxxxxxx>]

on 7/7/03 9:48 AM, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:

> Oi Marcio !
> Tudo Legal ?
> 
> Como voce so fala "Anel" entao eu nao vou supor que ele tem uma unidade.
> Respondendo a sua pergunta : Voce nao errou, apenas nao continuou ...
> 
> Dado que NESTE ANEL X^2 = X, entao, em particular, (-X)^2 = -X. Mas,
> conforme voce deve saber, EM QUALQUER ANEL, (-X)^2=X^2. Segue que, NESTE
> ANEL : X^2=-X. Portanto, NESTE ANEL,
> X^2=X e X^2 =-X. Logo X=-X. Conclusao : NESTE ANEL, qualquer elemento e
> igual ao seu simetrico !
> 
> Voce provou que XY = -(YX). Mas, pelo que vimos, NESTE ANEL, -(YX)=YX. Dai :
> XY=YX. E portanto este Anel e, de fato, comutativo.
> 
> Nao entendi a outra questao... E claro que se tomarmos quaisquer outros dois
> inteiros e dividirmos por 5 ( que e o terceiro elemento do conjunto ! )  o
> respo pode ser diferente. Por exemplo 3*5= 15. 15 por 3 da resto zero.
> 
> Um Abraco
> Paulo Santa rita
> 2,0948,070703
> 
> 
>> From: "mmrocha1" <mmrocha1@bol.com.br>
>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: [obm-l] Sugestao para solucao
>> Date: Sun,  6 Jul 2003 10:50:25 -0300
>> 
>> Saudacoes a todos!
>> Faco Matematica na UERJ e gosto de me divertir resolvendo (na verdade, na
>> maior
>> parte das vezes, soh tentando) resolver problemas olimpicos. Nao sou aquilo
>> que se
>> poderia chamar de "aluno talentoso", mas sou curioso, persistente e estudo
>> Matematica porque realmente gosto. Alem disso, penso que estudar temas
>> olimpicos pode ajudar a melhorar a minha formacao. Jah escrevi para a lista
>> ajudando na solucao de problemas bem simples, jah fui corrigido pelo Prof
>> Morgado,
>> e tudo isso para mim eh muito bom!
>> Bem vamos ao que interessa.
>> Tem dois problemas que gostaria de uma ajuda para resolver. Nao eh
>> necessario
>> dar a solucao, mas uma sugestao jah serve. Um eh de Algebra, do livro do
>> Adilson
>> Goncalves, e o outro eh de uma apostila de treinamento olimpico.
>> 
>> 1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh
>> comutativo.
>> A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x +
>> y.
>> Desenvolvendo, temos:
>> x.x + x.y + y.x + y.y  = x + y.
>> x^2 + x.y + y.x  +  y^2 = x + y.
>> Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a
>> xy = -(yx)
>> Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei?
>> 
>> Aqui vai o outro problema.
>> 
>> 2) Considere o conjunto formado pelos elementos 2, 3 e 5. Se multiplicamos
>> quaisquer dois elementos e dividimos o resultado pelo terceiro elemento, o
>> resto da
>> divisao eh 1. Existem outros conjuntos de 3 elementos com esta mesma
>> propriedade, ou este eh o unico? "
>> Nao creio que seja dificil, mas nao consigo enxergar um bom caminho.
>> 
>> Gostaria de agradecer a atencao de todos, e me desculpem se os problemas
>> nao
>> sao um desafio intelectual para a maioria.
>> 
>> Um abraco,
>> Marcio Rocha.
>> 
>> 
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Oi, Paulo,
Estudamos junto na UERJ. Voce lembra de mim? Eu comentei com voce a respeito
do livro do Erdos.
Bem, quanto a segunda questao, o que se quer saber eh se existem outros tres
numeros a, b e c tais que

a*b = 1 (mod c)
a*c = 1 (mod b)
b*c = 1 (mod a).

Valeu, tambem, pela solucao na primeira questao.

Um abraco.

Marcio.

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